त्रिभुज तल पर बंद सबसे सरल आकृति है, जिसमें केवल तीन परस्पर जुड़े खंड होते हैं। ज्यामिति की समस्याओं में, इस आंकड़े के क्षेत्र को निर्धारित करना अक्सर आवश्यक होता है। इसके लिए आपको क्या जानने की जरूरत है? लेख में हम इस प्रश्न का उत्तर देंगे कि त्रिभुज का क्षेत्रफल तीन भुजाओं पर कैसे ज्ञात किया जाए।
सामान्य सूत्र
हर छात्र जानता है कि त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उसकी किसी भी भुजा की लंबाई के गुणनफल के रूप में की जाती है - एक आधा ऊँचाई - h, चुनी हुई भुजा तक कम। नीचे संबंधित सूत्र है: S=ah/2.
इस व्यंजक का उपयोग तब किया जा सकता है जब कम से कम दो भुजाएँ और उनके बीच के कोण का मान ज्ञात हो। इस मामले में, ऊंचाई h को साइन जैसे त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके गणना करना आसान है। लेकिन हर कोई नहीं जानता कि त्रिभुज की तीन भुजाओं का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाता है।
हेरॉन का फॉर्मूला
यह सूत्र इस प्रश्न का उत्तर है कि कैसेतीन भुजाएँ त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करती हैं। इसे लिखने से पहले, आइए एक मनमाना आकृति के खंडों की लंबाई को a, b और c के रूप में निरूपित करें। बगुला का सूत्र इस प्रकार लिखा गया है: S=(p(p-a)(p-b)(p-c)).
जहां p आकृति का आधा परिमाप है, अर्थात: p=(a+b+c)/2.
स्पष्ट बोझिल होने के बावजूद, क्षेत्र S के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति को याद रखना आसान है। ऐसा करने के लिए, आपको पहले त्रिभुज की अर्ध-परिधि की गणना करनी होगी, फिर उसमें से आकृति की भुजा की एक लंबाई से घटाना होगा, प्राप्त सभी अंतरों और अर्ध-परिधि को स्वयं गुणा करना होगा। अंत में, गुणनफल का वर्गमूल लें।
इस सूत्र का नाम अलेक्जेंड्रिया के हेरोन के नाम पर रखा गया है, जो हमारे युग की शुरुआत में रहते थे। आधुनिक इतिहास का मानना है कि यह वह दार्शनिक था जिसने सबसे पहले इस अभिव्यक्ति को संबंधित गणना करने के लिए लागू किया था। यह सूत्र उनकी मेट्रिका में प्रकाशित हुआ है, जो 60 ईस्वी पूर्व का है। ध्यान दें कि आर्किमिडीज के कुछ कार्यों में, जो हेरोन से दो शताब्दी पहले रहते थे, ऐसे संकेत हैं कि ग्रीक दार्शनिक पहले से ही सूत्र को जानते थे। इसके अलावा, प्राचीन चीनी तीन भुजाओं को जानकर त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालना भी जानते थे।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हेरॉन के सूत्र के अस्तित्व को जाने बिना समस्या का समाधान किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, त्रिकोण में कुछ ऊंचाई बनाएं और समीकरणों की उपयुक्त प्रणाली को संकलित करते हुए पिछले पैराग्राफ से सामान्य सूत्र का उपयोग करें।
हेरॉन के व्यंजक का उपयोग मनमाने बहुभुजों के क्षेत्रफलों की गणना करने के लिए किया जा सकता है, उन्हें विभाजित करने के बादत्रिकोण और परिणामी विकर्णों की लंबाई की गणना।
समस्या समाधान का उदाहरण
तीन भुजाओं पर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का तरीका जानने के बाद, आइए निम्नलिखित समस्या को हल करके अपने ज्ञान को समेकित करें। मान लीजिए आकृति की भुजाएँ 5 सेमी, 4 सेमी और 3 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
त्रिभुज की तीन भुजाएँ ज्ञात हैं, इसलिए आप हीरोन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। हम अर्ध-परिधि और आवश्यक अंतरों की गणना करते हैं, हमारे पास:
- पी=(ए+बी+सी)/2=6 सेमी;
- पी-ए=1 सेमी;
- पी-बी=2 सेमी;
- पी-सी=3 सेमी.
तब हमें क्षेत्रफल मिलता है: S=(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
समस्या की स्थिति में दिया गया त्रिभुज समकोण है, जिसे जांचना आसान है कि क्या आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। चूँकि ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल टाँगों के गुणनफल का आधा है, हम पाते हैं: S=43/2=6 सेमी2।
परिणामी मान वही है जो हेरॉन के सूत्र के लिए है, जो बाद वाले की वैधता की पुष्टि करता है।
