द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के गुण और विधियाँ

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

दुनिया को इस तरह से व्यवस्थित किया गया है कि एक द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए बड़ी संख्या में समस्याओं का समाधान नीचे आता है। विभिन्न पैटर्नों का वर्णन करने के लिए समीकरणों की जड़ें महत्वपूर्ण हैं। यह बात प्राचीन बाबुल के सर्वेक्षकों को भी मालूम थी। खगोलविदों और इंजीनियरों को भी ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए मजबूर होना पड़ा। छठी शताब्दी ईस्वी में, भारतीय वैज्ञानिक आर्यभट्ट ने द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए मूल बातें विकसित कीं। सूत्र 19वीं सदी में पूरे हुए।

सामान्य अवधारणाएं

हम आपको द्विघात समानता की बुनियादी नियमितताओं से परिचित कराने के लिए आमंत्रित करते हैं। सामान्य तौर पर, समानता को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी=0, एक द्विघात समीकरण के मूलों की संख्या एक या दो के बराबर हो सकती है। विभेदक की अवधारणा का उपयोग करके एक त्वरित विश्लेषण किया जा सकता है:

डी=बी2 - 4ac

गणना मूल्य के आधार पर, हमें मिलता है:

• जब D > 0 दो भिन्न मूल होते हैं। द्विघात समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने का सामान्य सूत्र (-b± D) / (2a) जैसा दिखता है।
• D=0, इस स्थिति में मूल एक है और x=-b / (2a) के मान से मेल खाता है
• D < 0, विवेचक के ऋणात्मक मान के लिए, समीकरण का कोई हल नहीं है।

नोट: यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो समीकरण का केवल वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में कोई मूल नहीं है। यदि बीजगणित को जटिल जड़ों की अवधारणा तक विस्तारित किया जाता है, तो समीकरण का एक हल होता है।

आइए क्रियाओं की एक श्रृंखला दें जो जड़ों को खोजने के सूत्र की पुष्टि करती है।

समीकरण के सामान्य रूप से, यह इस प्रकार है:

कुल्हाड़ी2 + बीएक्स=-सी

हम दाएं और बाएं भागों को 4a से गुणा करते हैं और b2 जोड़ते हैं, हमेंमिलता है

4a²x² + 4abx + b² =-4ac+b ²

बाएं पक्ष को बहुपद (2ax + b) के वर्ग में बदलें²। हम समीकरण 2ax + b=-b ± (-4ac + b^{2) के दोनों पक्षों का वर्गमूल निकालते हैं, गुणांक b को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है:}

2ax=-b ± (-4ac + b2)

यहां से इस प्रकार है:

x=(-बी ± (बी2 - 4ac))

क्या दिखाना था।

विशेष मामला

कुछ मामलों में समस्या के समाधान को सरल बनाया जा सकता है। अतः सम गुणांक b के लिए हमें एक सरल सूत्र प्राप्त होता है।

निरूपित करें k=1/2b, तब द्विघात समीकरण के मूलों के सामान्य रूप का सूत्र रूप लेता है:

x=(-के ± (के2 -एसी)) / ए

जब डी=0, हमें x=-k / a मिलता है

एक और विशेष मामला है a=1. के साथ समीकरण का हल

फॉर्म के लिए x² + bx + c=0 मूल होंगे x=-k ± (k^{2 - c) 0 से अधिक विवेचक के साथ।मामले के लिए जब डी=0, रूट एक साधारण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाएगा: x=-k.}

चार्ट का उपयोग करें

कोई भी व्यक्ति, यह जाने बिना भी, लगातार भौतिक, रासायनिक, जैविक और यहां तक कि सामाजिक घटनाओं का सामना करता है जो एक द्विघात कार्य द्वारा अच्छी तरह से वर्णित हैं।

नोट: द्विघात फलन के आधार पर बने वक्र को परवलय कहते हैं।

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

1. एक प्रक्षेप्य के प्रक्षेपवक्र की गणना करते समय, क्षितिज के कोण पर दागे गए शरीर के परवलय के साथ गति की संपत्ति का उपयोग किया जाता है।
2. भार को समान रूप से वितरित करने के लिए एक परवलय की संपत्ति का व्यापक रूप से वास्तुकला में उपयोग किया जाता है।

परवलयिक फलन के महत्व को समझते हुए, आइए जानें कि "विभेदक" और "द्विघात समीकरण के मूल" की अवधारणाओं का उपयोग करके, इसके गुणों का पता लगाने के लिए ग्राफ़ का उपयोग कैसे करें।

गुणांक a और b के मान के आधार पर, वक्र की स्थिति के लिए केवल छह विकल्प हैं:

1. विभेदक सकारात्मक है, a और b के अलग-अलग चिन्ह हैं। परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर देखती हैं, द्विघात समीकरण के दो हल होते हैं।
2. विभेदक और गुणांक b शून्य के बराबर है, गुणांक a शून्य से बड़ा है। ग्राफ़ धनात्मक क्षेत्र में है, समीकरण का 1 मूल है।
3. विभेदक और सभी गुणांक सकारात्मक हैं। द्विघात समीकरण का कोई हल नहीं है।
4. विभेदक और गुणांक a ऋणात्मक हैं, b शून्य से बड़ा है। ग्राफ की शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है, समीकरण की दो जड़ें होती हैं।
5. भेदभाव करने वाला औरगुणांक b शून्य के बराबर है, गुणांक a ऋणात्मक है। परवलय नीचे देखता है, समीकरण का एक मूल है।
6. विभेदक और सभी गुणांक के मान ऋणात्मक हैं। कोई समाधान नहीं है, फ़ंक्शन मान पूरी तरह से नकारात्मक क्षेत्र में हैं।

नोट: विकल्प a=0 पर विचार नहीं किया जाता है, क्योंकि इस मामले में परवलय एक सीधी रेखा में बदल जाता है।

उपरोक्त सभी को नीचे दिए गए चित्र द्वारा अच्छी तरह से दर्शाया गया है।

समस्या समाधान के उदाहरण

शर्त: सामान्य गुणों का उपयोग करते हुए, एक द्विघात समीकरण बनाएं जिसकी जड़ें एक दूसरे के बराबर हों।

समाधान:

समस्या की स्थिति के अनुसार x₁ =x₂, या -b + √(b^{2- 4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a)। संकेतन को सरल बनाना:}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - (b² - 4ac) / (2a))=0, कोष्ठक खोलिए और समान पद दीजिए। समीकरण 2√(b² - 4ac)=0 हो जाता है। यह कथन सत्य है जब b² - 4ac=0, इसलिए b ^{2=4ac, फिर मान b=2√(ac) को समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है}

ax² + 2√(ac)x + c=0, संक्षिप्त रूप में हमें मिलता है x^{2 + 2√(सी / ए) एक्स + सी=0.}

उत्तर:

एक के बराबर नहीं 0 और किसी भी सी के लिए, केवल एक ही समाधान है यदि b=2√(c / a).

क्वाड्रिक समीकरण, उनकी सभी सादगी के लिए, इंजीनियरिंग गणना में बहुत महत्व रखते हैं। लगभग किसी भी भौतिक प्रक्रिया का वर्णन कुछ सन्निकटन के साथ किया जा सकता हैआदेश n के शक्ति कार्य। द्विघात समीकरण ऐसा पहला सन्निकटन होगा।