गणित में समीकरणों को हल करने का विशेष स्थान है। यह प्रक्रिया सिद्धांत के अध्ययन के कई घंटों से पहले होती है, जिसके दौरान छात्र सीखता है कि समीकरणों को कैसे हल किया जाए, उनका रूप निर्धारित किया जाए और कौशल को पूर्ण स्वचालितता में लाया जाए। हालांकि, जड़ों की खोज हमेशा समझ में नहीं आती है, क्योंकि वे बस मौजूद नहीं हो सकते हैं। जड़ों को खोजने के लिए विशेष तरीके हैं। इस लेख में, हम मुख्य कार्यों, उनके दायरे, साथ ही उन मामलों का विश्लेषण करेंगे जहां उनकी जड़ें अनुपस्थित हैं।
किस समीकरण का कोई मूल नहीं है?
एक समीकरण का कोई मूल नहीं होता यदि ऐसा कोई वास्तविक तर्क x नहीं है जिसके लिए समीकरण समान रूप से सत्य है। एक गैर-विशेषज्ञ के लिए, यह सूत्रीकरण, अधिकांश गणितीय प्रमेयों और सूत्रों की तरह, बहुत अस्पष्ट और सारगर्भित लगता है, लेकिन यह सिद्धांत में है। व्यवहार में, सब कुछ बेहद सरल हो जाता है। उदाहरण के लिए: समीकरण 0x=-53 का कोई हल नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या x नहीं है, जिसका गुणनफल शून्य से शून्य के अलावा कुछ और देगा।
अब हम सबसे बुनियादी प्रकार के समीकरणों को देखेंगे।
1. रैखिक समीकरण
एक समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि इसके दाएं और बाएं भागों को रैखिक कार्यों के रूप में दर्शाया जाता है: ax + b=cx + d या सामान्यीकृत रूप में kx + b=0. जहां a, b, c, d ज्ञात हैं संख्याएँ, और x एक अज्ञात मात्रा है। किस समीकरण की कोई जड़ नहीं है? रैखिक समीकरणों के उदाहरण नीचे दिए गए उदाहरण में दिखाए गए हैं।
मूल रूप से, रैखिक समीकरणों को केवल संख्या भाग को एक भाग और x की सामग्री को दूसरे भाग में ले जाकर हल किया जाता है। यह mx \u003d n के रूप का एक समीकरण निकलता है, जहाँ m और n संख्याएँ हैं, और x अज्ञात है। x को ज्ञात करने के लिए दोनों भागों को m से भाग देना पर्याप्त है। फिर एक्स=एन / एम। मूल रूप से, रैखिक समीकरणों में केवल एक जड़ होती है, लेकिन ऐसे मामले होते हैं जब या तो असीम रूप से कई जड़ें होती हैं या कोई भी नहीं होती हैं। एम=0 और एन=0 के साथ, समीकरण 0x=0 का रूप लेता है। बिल्कुल कोई भी संख्या ऐसे समीकरण का समाधान होगी।
लेकिन किस समीकरण की कोई जड़ नहीं है?
जब m=0 और n=0, समीकरण का वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से कोई मूल नहीं होता है। 0एक्स=-1; 0x=200 - इन समीकरणों का कोई मूल नहीं है।
2. द्विघात समीकरण
एक द्विघात समीकरण a=0 के लिए ax2 + bx + c=0 के रूप का एक समीकरण है। द्विघात समीकरण को हल करने का सबसे सामान्य तरीका इसे हल करना है विभेदक के माध्यम से। द्विघात समीकरण का विभेदक ज्ञात करने का सूत्र: D=b2 - 4ac। फिर दो मूल हैं x1, 2=(-b ± D) / 2a.
जब D > 0 समीकरण के दो मूल होते हैं, जब D=0 - एक मूल। लेकिन किस द्विघात समीकरण की कोई जड़ नहीं है?द्विघात समीकरण के मूलों की संख्या का निरीक्षण करने का सबसे आसान तरीका एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर है, जो एक परवलय है। > 0 पर शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, < पर 0 शाखाओं को नीचे किया जाता है। यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो ऐसे द्विघात समीकरण का वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में कोई मूल नहीं होता है।
आप विभेदक की गणना किए बिना जड़ों की संख्या को नेत्रहीन रूप से भी निर्धारित कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको परवलय के शीर्ष को खोजने और यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि शाखाएं किस दिशा में निर्देशित हैं। आप सूत्र का उपयोग करके एक शीर्ष का x-निर्देशांक निर्धारित कर सकते हैं: x0 =-b / 2a। इस मामले में, शीर्ष के y-निर्देशांक को मूल समीकरण में x0 मान को केवल प्रतिस्थापित करके पाया जाता है।
द्विघात समीकरण x2 – 8x + 72=0 का कोई मूल नहीं है क्योंकि इसका एक ऋणात्मक विभेदक है D=(–8)2 - 4172=-224। इसका अर्थ है कि परवलय x-अक्ष को स्पर्श नहीं करता है और फलन कभी भी मान 0 नहीं लेता है, इसलिए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
3. त्रिकोणमितीय समीकरण
त्रिकोणमितीय फलनों को एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर माना जाता है, लेकिन एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में भी प्रदर्शित किया जा सकता है। इस लेख में, हम दो बुनियादी त्रिकोणमितीय फलनों और उनके समीकरणों को देखेंगे: sinx और cosx। चूँकि ये फलन त्रिज्या 1, |sinx|. के साथ एक त्रिकोणमितीय वृत्त बनाते हैं और |cosx| 1 से बड़ा नहीं हो सकता है। तो किस sinx समीकरण का कोई मूल नहीं है? चित्र में प्रस्तुत sinx फलन के ग्राफ पर विचार करेंनीचे।
हम देखते हैं कि फलन सममित है और इसकी पुनरावृत्ति अवधि 2pi है। इसके आधार पर हम कह सकते हैं कि इस फलन का अधिकतम मान 1 और न्यूनतम -1 हो सकता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक cosx=5 के मूल नहीं होंगे, क्योंकि इसका मापांक एक से बड़ा है।
यह त्रिकोणमितीय समीकरणों का सबसे सरल उदाहरण है। वास्तव में, उनका समाधान कई पृष्ठ ले सकता है, जिसके अंत में आपको पता चलता है कि आपने गलत सूत्र का उपयोग किया है और आपको फिर से शुरू करने की आवश्यकता है। कभी-कभी, जड़ों की सही खोज के साथ, आप ओडीजेड पर प्रतिबंधों को ध्यान में रखना भूल सकते हैं, यही कारण है कि उत्तर में एक अतिरिक्त रूट या अंतराल दिखाई देता है, और पूरा उत्तर गलत हो जाता है। इसलिए, सभी प्रतिबंधों का सख्ती से पालन करें, क्योंकि सभी जड़ें कार्य के दायरे में फिट नहीं होती हैं।
4. समीकरणों की प्रणाली
समीकरणों की एक प्रणाली घुंघराले या वर्ग कोष्ठक के साथ संयुक्त समीकरणों का एक समूह है। घुंघराले ब्रेसिज़ सभी समीकरणों के संयुक्त निष्पादन को दर्शाते हैं। अर्थात्, यदि कम से कम एक समीकरण का कोई मूल नहीं है या दूसरे के विपरीत है, तो पूरे सिस्टम का कोई हल नहीं है। वर्गाकार कोष्ठक "या" शब्द को दर्शाते हैं। इसका मतलब यह है कि यदि सिस्टम के कम से कम एक समीकरण का हल है, तो पूरे सिस्टम के पास एक समाधान है।
वर्ग कोष्ठक वाले निकाय का उत्तर व्यक्तिगत समीकरणों के सभी मूलों का योग है। और घुंघराले ब्रेसिज़ वाले सिस्टम में केवल सामान्य जड़ें होती हैं। समीकरण प्रणालियों में बिल्कुल विविध कार्य शामिल हो सकते हैं, इसलिए यह जटिलता नहीं हैआपको तुरंत यह बताने की अनुमति देता है कि किस समीकरण का कोई मूल नहीं है।
समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए सामान्यीकरण और सुझाव
समस्या पुस्तकों और पाठ्यपुस्तकों में विभिन्न प्रकार के समीकरण होते हैं: जिनके मूल होते हैं, और जिनके पास नहीं होते हैं। सबसे पहले, अगर आपको जड़ें नहीं मिल रही हैं, तो यह मत सोचिए कि वे मौजूद ही नहीं हैं। हो सकता है कि आपने कहीं गलती की हो, तो बस अपने समाधान की दोबारा जांच करें।
हमने सबसे बुनियादी समीकरणों और उनके प्रकारों को कवर किया है। अब आप बता सकते हैं कि किस समीकरण का कोई मूल नहीं है। ज्यादातर मामलों में, ऐसा करना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है। समीकरणों को हल करने में सफलता प्राप्त करने के लिए केवल ध्यान और एकाग्रता की आवश्यकता होती है। अधिक अभ्यास करें, इससे आपको सामग्री को बेहतर और तेज़ी से नेविगेट करने में मदद मिलेगी।
तो, समीकरण का कोई मूल नहीं है यदि:
- रैखिक समीकरण में mx=n मान m=0 और n=0;
- एक द्विघात समीकरण में यदि विवेचक शून्य से कम है;
- एक त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में cosx=m / sinx=n, if |m| > 0, |n| > 0;
- घुंघराले कोष्ठक वाले समीकरणों की एक प्रणाली में यदि कम से कम एक समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं, और वर्ग कोष्ठक के साथ यदि सभी समीकरणों का कोई मूल नहीं है।
