स्थानिक आंकड़ों के आयतन की गणना स्टीरियोमेट्री के महत्वपूर्ण कार्यों में से एक है। इस लेख में, हम ऐसे पॉलीहेड्रॉन की मात्रा को पिरामिड के रूप में निर्धारित करने के मुद्दे पर विचार करेंगे, और एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड के आयतन का सूत्र भी देंगे।
हेक्सागोनल पिरामिड
सबसे पहले, आइए देखें कि वह आंकड़ा क्या है, जिसकी चर्चा लेख में की जाएगी।
आइए एक मनमाना षट्भुज लें जिसकी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर हों यह आवश्यक नहीं है। यह भी मान लीजिए कि हमने अंतरिक्ष में एक ऐसा बिंदु चुना है जो षट्भुज के तल में नहीं है। उत्तरार्द्ध के सभी कोनों को चयनित बिंदु से जोड़कर, हमें एक पिरामिड मिलता है। षट्कोणीय आधार वाले दो अलग-अलग पिरामिड नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं।
यह देखा जा सकता है कि षट्भुज के अलावा, आकृति में छह त्रिकोण होते हैं, जिसके कनेक्शन बिंदु को शीर्ष कहा जाता है। चित्रित पिरामिडों के बीच का अंतर यह है कि उनके दाईं ओर की ऊँचाई h उसके ज्यामितीय केंद्र में हेक्सागोनल आधार को नहीं काटती है, और बाईं आकृति की ऊँचाई गिरती हैठीक उस केंद्र में। इस मानदंड के लिए धन्यवाद, बाएं पिरामिड को सीधा कहा जाता था, और दायां - तिरछा।
चूंकि आकृति में बायीं आकृति का आधार समान भुजाओं और कोणों वाले षट्भुज द्वारा बनाया गया है, इसे सही कहा जाता है। आगे लेख में हम केवल इसी पिरामिड के बारे में बात करेंगे।
षट्कोणीय पिरामिड का आयतन
मनमाने पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, निम्न सूत्र मान्य है:
वी=1/3एचएसओ
यहाँ h आकृति की ऊँचाई की लंबाई है, So इसके आधार का क्षेत्रफल है। आइए इस व्यंजक का उपयोग एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आयतन निर्धारित करने के लिए करें।
चूंकि विचाराधीन आंकड़ा एक समबाहु षट्भुज पर आधारित है, इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप n-gon के लिए निम्नलिखित सामान्य व्यंजक का उपयोग कर सकते हैं:
एस=एन/4ए2सीटीजी(पीआई/एन)
यहाँ n बहुभुज की भुजाओं (कोनों) की संख्या के बराबर एक पूर्णांक है, a इसकी भुजा की लंबाई है, उपयुक्त तालिकाओं का उपयोग करके कोटैंजेंट फ़ंक्शन की गणना की जाती है।
n=6 के लिए व्यंजक को लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:
एस6=6/4ए2 सीटीजी(पीआई/6)=√3/2ए 2
अब इस व्यंजक को वॉल्यूम V: के सामान्य सूत्र में बदलना बाकी है।
वी6=एस6एच=√3/2एचए2
इस प्रकार, विचाराधीन पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, इसके दो रैखिक मापदंडों को जानना आवश्यक है: आधार के किनारे की लंबाई और आकृति की ऊंचाई।
समस्या समाधान का उदाहरण
आइए दिखाते हैं कि V6 के लिए प्राप्त व्यंजक का उपयोग निम्नलिखित समस्या को हल करने के लिए कैसे किया जा सकता है।
यह ज्ञात है कि एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड का आयतन 100 सेमी3 होता है। आधार के किनारे और आकृति की ऊंचाई निर्धारित करना आवश्यक है, यदि यह ज्ञात हो कि वे एक दूसरे से निम्नलिखित समानता से संबंधित हैं:
ए=2एच
चूंकि आयतन के सूत्र में केवल a और h शामिल हैं, इनमें से किसी भी पैरामीटर को इसमें प्रतिस्थापित किया जा सकता है, दूसरे के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, a को प्रतिस्थापित करें, हमें मिलता है:
वी6=3/2एच(2एच)2=>
एच=∛(वी6/(2√3))
किसी आकृति की ऊंचाई का मान ज्ञात करने के लिए, आपको आयतन से तीसरी डिग्री का मूल लेना होगा, जो लंबाई के आयाम से मेल खाता है। हम समस्या विवरण से पिरामिड के वॉल्यूम मान V6 को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें ऊंचाई मिलती है:
एच=∛(100/(2√3)) 3.0676 सेमी
चूंकि आधार का पक्ष, समस्या की स्थिति के अनुसार, पाया गया मान का दोगुना है, हमें इसका मान मिलता है:
a=2h=23, 0676=6, 1352cm
एक षट्कोणीय पिरामिड का आयतन न केवल आकृति की ऊंचाई और उसके आधार की भुजा के मान से ज्ञात किया जा सकता है। इसकी गणना करने के लिए पिरामिड के दो अलग-अलग रैखिक मापदंडों को जानना पर्याप्त है, उदाहरण के लिए, एपोटेमा और किनारे के किनारे की लंबाई।
