सबसे महत्वपूर्ण विज्ञानों में से एक, जिसका अनुप्रयोग रसायन विज्ञान, भौतिकी और यहां तक कि जीव विज्ञान जैसे विषयों में देखा जा सकता है, वह है गणित। इस विज्ञान के अध्ययन से आप कुछ मानसिक गुणों को विकसित कर सकते हैं, अमूर्त सोच और ध्यान केंद्रित करने की क्षमता में सुधार कर सकते हैं। "गणित" पाठ्यक्रम में विशेष ध्यान देने योग्य विषयों में से एक अंशों का जोड़ और घटाव है। कई छात्रों को पढ़ाई में परेशानी होती है। शायद हमारा लेख इस विषय को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेगा।
समान हर वाले भिन्नों को कैसे घटाएं
अंश वही संख्याएं हैं जिनसे आप विभिन्न क्रियाएं कर सकते हैं। पूर्णांकों से उनका अंतर हर की उपस्थिति में होता है। इसीलिए भिन्नों के साथ क्रिया करते समय, आपको उनकी कुछ विशेषताओं और नियमों का अध्ययन करने की आवश्यकता होती है। सबसे सरल मामला साधारण अंशों का घटाव है, जिनमें से हर को एक ही संख्या के रूप में दर्शाया जाता है। यदि आप एक सरल नियम जानते हैं तो यह क्रिया करना कठिन नहीं होगा:
एक भिन्न से दूसरे को घटाने के लिए घटाई गई भिन्न के अंश से घटाए गए भिन्न के अंश को घटाना आवश्यक है। ये हैहम संख्या को अंतर के अंश में लिखते हैं, और हर को वही छोड़ देते हैं: k/m - b/m=(k-b)/m
भिन्नों को घटाने के उदाहरण जिनके हर समान हैं
आइए एक उदाहरण पर देखते हैं कि यह कैसा दिखता है:
7/19 - 3/19=(7 - 3)/19=4/19.
घटित भिन्न "7" के अंश से घटाए गए भिन्न "3" के अंश को घटाएं, हमें "4" मिलता है। हम इस संख्या को उत्तर के अंश में लिखते हैं, और हर में वही संख्या डालते हैं जो पहले और दूसरे अंश के हर में थी - "19"।
नीचे दी गई तस्वीर इसी तरह के कुछ और उदाहरण दिखाती है।
आइए एक अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें जहां समान हर वाले भिन्नों को घटाया जाता है:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47=(29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47=9/47।
घटित भिन्न "29" के अंश से बाद के सभी भिन्नों के अंशों को बारी-बारी से घटाकर - "3", "8", "2", "7"। नतीजतन, हमें परिणाम "9" मिलता है, जिसे हम उत्तर के अंश में लिखते हैं, और हर में हम वह संख्या लिखते हैं जो इन सभी भिन्नों के हर में होती है - "47"।
एक ही हर के साथ भिन्न जोड़ना
साधारण भिन्नों का जोड़ और घटाव एक ही सिद्धांत के अनुसार किया जाता है।
समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको अंशों को जोड़ना होगा। परिणामी संख्या योग का अंश है, और हर वही रहता है: k/m + b/m=(k + b)/m
आइए एक उदाहरण पर देखते हैं कि यह कैसा दिखता है:
1/4 + 2/4=3/4.
केभिन्न के पहले पद का अंश - "1" - भिन्न के दूसरे पद का अंश - "2" जोड़ें। परिणाम - "3" - राशि के अंश में लिखा जाता है, और भाजक वही होता है जो भिन्नों में मौजूद होता है - "4"।
विभिन्न हर वाले भिन्न और उनका घटाव
एक ही भाजक वाले भिन्नों के साथ क्रिया, हम पहले ही विचार कर चुके हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, सरल नियमों को जानना, ऐसे उदाहरणों को हल करना काफी आसान है। लेकिन क्या होगा अगर आपको भिन्नों के साथ एक क्रिया करने की ज़रूरत है जिसमें अलग-अलग हर हैं? हाई स्कूल के कई छात्र ऐसे उदाहरणों से भ्रमित हैं। लेकिन यहां भी, यदि आप समाधान के सिद्धांत को जानते हैं, तो उदाहरण अब आपके लिए कठिन नहीं होंगे। यहाँ एक नियम भी है, जिसके बिना ऐसे भिन्नों का हल असंभव है।
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भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, आपको उन्हें एक ही सबसे छोटे हर में लाना होगा।
भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव
यह कैसे करना है इसके बारे में हम और बात करेंगे।
एक भिन्न की संपत्ति
एक ही हर में कई भिन्नों को कम करने के लिए, आपको समाधान में भिन्न की मुख्य संपत्ति का उपयोग करने की आवश्यकता है: अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित या गुणा करने के बाद, आपको अंश के बराबर अंश मिलता है एक दिया।
इसलिए, उदाहरण के लिए, भिन्न 2/3 में ऐसे हर "6", "9", "12", आदि हो सकते हैं, अर्थात यह किसी भी संख्या की तरह दिख सकता है जो " 3"। हम अंश और हर को से गुणा करने के बाद"2", आपको भिन्न 4/6 मिलता है। जब हम मूल भिन्न के अंश और हर को "3" से गुणा करते हैं, तो हमें 6/9 मिलता है, और यदि हम "4" संख्या के साथ समान क्रिया करते हैं, तो हमें 8/12 मिलता है। एक समीकरण में इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
2/3=4/6=6/9=8/12…
एक ही हर में कई भिन्न कैसे लाएं
आइए विचार करें कि एक ही हर में कई भिन्नों को कैसे कम किया जाए। उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए भिन्नों को लें। पहले आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन सी संख्या उन सभी के लिए हर बन सकती है। इसे आसान बनाने के लिए, आइए उपलब्ध हरों का गुणनखंड करें।
भिन्न 1/2 और भिन्न 2/3 के हर का गुणनखंड नहीं किया जा सकता है। 7/9 के हर के दो गुणनखंड हैं 7/9=7/(3 x 3), भिन्न का हर 5/6=5/(2 x 3)। अब आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि इन चारों भिन्नों के लिए कौन से गुणनखंड सबसे छोटे होंगे। चूंकि पहले अंश में हर में "2" संख्या होती है, इसका मतलब है कि यह सभी हर में मौजूद होना चाहिए, अंश 7/9 में दो त्रिगुण हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें भी हर में मौजूद होना चाहिए। उपरोक्त को देखते हुए, हम निर्धारित करते हैं कि हर में तीन कारक होते हैं: 3, 2, 3 और 3 x 2 x 3=18 के बराबर होता है।
पहले भिन्न पर विचार करें - 1/2। इसके हर में "2" है, लेकिन एक भी "3" नहीं है, लेकिन दो होने चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम हर को दो त्रिगुणों से गुणा करते हैं, लेकिन, एक भिन्न के गुण के अनुसार, हमें अंश को दो त्रिगुणों से गुणा करना चाहिए:
1/2=(1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3)=9 /18.
इसी तरह, हम शेष के साथ क्रिया करते हैंभिन्न।
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2/3 - हर में एक तीन और एक दो गायब हैं:
2/3=(2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2)=12/18.
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7/9 या 7/(3 x 3) - हर में हर का अभाव है:
7/9=(7 x 2)/(9 x 2)=14/18.
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5/6 या 5/(2 x 3) - हर में एक ट्रिपल गायब है:
5/6=(5 x 3)/(6 x 3)=15/18.
सब मिलकर ऐसा दिखता है:
विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को कैसे घटाना और जोड़ना है
जैसा कि ऊपर बताया गया है, भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए, उन्हें एक ही हर में लाया जाना चाहिए, और फिर उसी हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए नियमों का उपयोग करना चाहिए, जो पहले ही वर्णित किया जा चुका है।
इसे एक उदाहरण के रूप में लेते हैं: 4/18 – 3/15।
18 और 15 के गुणज ज्ञात कीजिए:
- संख्या 18 3 x 2 x 3 है।
- संख्या 15 में 5 x 3 है।
- सार्व गुणक में निम्नलिखित कारक शामिल होंगे 5 x 3 x 3 x 2=90.
हर के मिलने के बाद हर भिन्न के लिए अलग-अलग गुणक की गणना करना आवश्यक है, अर्थात वह संख्या जिससे हर को ही नहीं, बल्कि अंश को भी गुणा करना आवश्यक होगा। ऐसा करने के लिए, हम उस संख्या (सामान्य गुणक) को भिन्न के हर से विभाजित करते हैं जिसके लिए अतिरिक्त कारकों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है।
- 90 को 15 से विभाजित किया जाता है। परिणामी संख्या "6" 3/15 के लिए गुणक होगी।
- 90 को 18 से विभाजित किया जाता है। परिणामी संख्या "5" 4/18 का गुणक होगा।
हमारे निर्णय का अगला चरण हैहर भिन्न को हर "90" में लाना।
यह कैसे किया जाता है, हम पहले ही बता चुके हैं। विचार करें कि यह उदाहरण में कैसे लिखा गया है:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6)=20/90 - 18/90=2/90=1/45।
यदि छोटी संख्या वाले भिन्न हैं, तो आप सामान्य हर का निर्धारण कर सकते हैं, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।
इसी प्रकार भिन्न हर के साथ भिन्नों का योग किया जाता है।
पूर्णांक भागों के साथ भिन्नों का घटाव और जोड़
भिन्नों का घटाव और उनका योग, हम पहले ही विस्तार से विश्लेषण कर चुके हैं। लेकिन अगर अंश में पूर्णांक भाग है तो घटाना कैसे करें? फिर से, आइए कुछ नियमों का उपयोग करें:
- पूर्णांक वाले सभी भिन्नों का अनुपयुक्त अंशों में अनुवाद करें। सरल शब्दों में, पूरे भाग को हटा दें। ऐसा करने के लिए, पूर्णांक भाग की संख्या को भिन्न के हर से गुणा किया जाता है, परिणामी उत्पाद को अंश में जोड़ा जाता है। इन क्रियाओं के बाद प्राप्त होने वाली संख्या एक अनुचित भिन्न का अंश होती है। भाजक वही रहता है।
- यदि भिन्नों के हर अलग-अलग हैं, तो उन्हें उसी में घटाया जाना चाहिए।
- समान हर से जोड़ें या घटाएं।
- अनुचित अंश प्राप्त करते समय, पूर्णांक भाग का चयन करें।
एक और तरीका है जिसके द्वारा आप भिन्नों को पूर्णांक भागों के साथ जोड़ और घटा सकते हैं। इसके लिए, क्रियाएँ पूर्णांक भागों के साथ अलग-अलग और भिन्नों के साथ अलग-अलग की जाती हैं, और परिणाम एक साथ दर्ज किए जाते हैं।
उपरोक्त उदाहरण में भिन्न हैं जिनका हर समान है। उस स्थिति में जब हर अलग-अलग हों, उन्हें उसी में घटाया जाना चाहिए, और फिर उदाहरण में दिखाए गए चरणों का पालन करें।
पूर्णांकों से भिन्नों को घटाना
अंशों के साथ एक अन्य प्रकार की संक्रिया वह स्थिति है जब एक अंश को एक प्राकृत संख्या से घटाया जाना चाहिए। पहली नज़र में, ऐसा उदाहरण हल करना मुश्किल लगता है। हालाँकि, यहाँ सब कुछ काफी सरल है। इसे हल करने के लिए, एक पूर्णांक को भिन्न में बदलना आवश्यक है, और ऐसे हर के साथ, जो घटाए जाने वाले भिन्न में है। अगला, हम समान हर के साथ घटाव के समान घटाव करते हैं। एक उदाहरण में, यह इस तरह दिखता है:
7 - 4/9=(7 x 9)/9 - 4/9=53/9 - 4/9=49/9।
इस लेख (ग्रेड 6) में प्रस्तुत भिन्नों का घटाव अधिक जटिल उदाहरणों को हल करने का आधार है जिन पर बाद की कक्षाओं में विचार किया जाता है। इस विषय के ज्ञान का उपयोग बाद में कार्यों, डेरिवेटिव आदि को हल करने के लिए किया जाता है। इसलिए, ऊपर चर्चा की गई भिन्नों के साथ संक्रियाओं को समझना और समझना बहुत महत्वपूर्ण है।
