ज्यामिति में समस्याओं को हल करने में पंचकोणीय प्रिज्म त्रिकोणीय, चतुर्भुज या हेक्सागोनल जैसे प्रिज्मों की तुलना में बहुत कम आम है। फिर भी, इस आकृति के मूल गुणों की समीक्षा करना, साथ ही इसे बनाना सीखना भी उपयोगी है।
पंचकोणीय प्रिज्म क्या है?
यह एक त्रि-आयामी आकृति है, जिसके आधार पंचकोण हैं, और भुजाएँ समांतर चतुर्भुज हैं। यदि इनमें से प्रत्येक समांतर चतुर्भुज समानांतर आधारों के लंबवत हो, तो ऐसे प्रिज्म को आयताकार कहा जाता है। एक आयताकार पंचकोणीय प्रिज्म की पार्श्व सतह पाँच आयतों से बनी होती है। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक के आधार से सटी भुजा पंचभुज की भुजा की संगत लंबाई के बराबर है।
यदि पंचभुज नियमित है, अर्थात इसकी सभी भुजाएँ और कोण एक दूसरे के बराबर हैं, तो ऐसे आयताकार प्रिज्म को नियमित कहा जाता है। आगे लेख में हम इस विशेष आकृति के गुणों पर विचार करेंगे।
प्रिज्म तत्व
उसके लिए, किसी भी प्रिज्म के लिए,निम्नलिखित तत्व विशेषता हैं:
- चेहरे या भुजाएँ समतल के भाग हैं जो अंतरिक्ष में एक आकृति को बांधते हैं;
- शीर्ष - तीन भुजाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु;
- पसलियां - आकृति के दो पक्षों के प्रतिच्छेदन के खंड।
सभी नामित तत्वों की संख्या निम्न समानता से एक दूसरे से संबंधित हैं:
किनारों की संख्या=शीर्षों की संख्या + फलकों की संख्या - 2
इस व्यंजक को बहुफलक के लिए यूलर सूत्र कहते हैं।
एक पंचकोणीय प्रिज्म में, भुजाओं की संख्या सात (दो आधार + पाँच आयत) होती है। चोटियों की संख्या 10 (प्रत्येक आधार के लिए 5) है। इस स्थिति में किनारों की संख्या होगी:
पसलियों की संख्या=10 + 7 - 2=15
दस किनारे प्रिज्म के आधार से संबंधित हैं, और पाँच किनारे आयतों से बने हैं।
पंचकोणीय प्रिज्म कैसे बनाएं?
इस प्रश्न का उत्तर विशिष्ट कार्य पर निर्भर करता है। यदि मनमाना प्रिज्म खींचना आवश्यक हो, तो कोई भी पंचभुज खींचा जाना चाहिए। उसके बाद, पंचभुज के प्रत्येक शीर्ष से समान लंबाई के पांच समानांतर खंड बनाएं। फिर, खंडों के ऊपरी सिरों को कनेक्ट करें। परिणाम एक पंचकोणीय मनमाना प्रिज्म है।
यदि एक नियमित प्रिज्म बनाना आवश्यक है, तो कार्य की पूरी जटिलता एक नियमित पंचकोण प्राप्त करने के लिए नीचे आती है। इस बहुभुज को खींचने के कई तरीके हैं। यहां हम केवल दो तरीकों पर विचार करेंगे।
पहला तरीका है कंपास से एक वृत्त खींचना। फिर एक मनमाना व्यास खींचा जाता हैवृत्त और पाँच कोणों को इसमें से 72o(572o=360o पर एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके गिना जाता है।). प्रत्येक कोण को गिनते समय वृत्त पर एक पायदान बनाया जाता है। एक आयत बनाने के लिए, चिह्नित पायदानों को सीधे खंडों से जोड़ना बाकी है।
दूसरी विधि में केवल एक कंपास और एक रूलर का उपयोग करना शामिल है। यह पिछले वाले की तुलना में कुछ जटिल है। नीचे एक वीडियो है जो इस निर्माण के प्रत्येक चरण के बारे में विस्तार से बताता है।
ध्यान दें कि यदि आप तारे के सिरों को जोड़ते हैं तो पेंटागन बनाना आसान है। यदि बिल्कुल नियमित पंचकोण बनाना आवश्यक नहीं है, तो आप हाथ से खींची गई तारा विधि का उपयोग कर सकते हैं।
जैसे ही पंचभुज खींचा जाता है, उसके प्रत्येक कोने से पांच समान समानांतर खंड खींचे और उनके शीर्षों को जोड़ दें। परिणाम एक पंचकोणीय प्रिज्म है।
आकार क्षेत्र
अब विचार करें कि पंचकोणीय प्रिज्म का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें। नीचे दिया गया चित्र इसके विकास को दर्शाता है। यह देखा जा सकता है कि आवश्यक क्षेत्र दो समान पंचकोणों और एक दूसरे के बराबर पांच आयतों से बनता है।
आकृति की पूरी सतह का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:
S=2So+ 5Sp
यहाँ सूचकांक o और p का अर्थ क्रमशः आधार और आयत है। आइए पंचभुज की भुजा की लंबाई को a और आकृति की ऊंचाई को h के रूप में निरूपित करें। फिर आयत के लिए हम लिखते हैं:
एसपी=एएच
एक पंचभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए,सार्वभौमिक सूत्र का प्रयोग करें:
एस=n/4a2ctg(pi/n)
जहां n बहुभुज की भुजाओं की संख्या है। n=5 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
S5=5/4a2ctg(pi/5) 1, 72a 2
परिणामी समानता की सटीकता 3 दशमलव स्थान है, जो किसी भी समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त है।
अब आधार और पार्श्व सतह के प्राप्त क्षेत्रों का योग ज्ञात करना बाकी है। हमारे पास है:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a एच
यह याद रखना चाहिए कि परिणामी सूत्र केवल एक आयताकार प्रिज्म के लिए मान्य है। एक तिरछी आकृति के मामले में, इसकी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल कट की परिधि के ज्ञान के आधार पर पाया जाता है, जो सभी समांतर चतुर्भुजों के लंबवत होना चाहिए।
आकृति का आयतन
पंचकोणीय प्रिज्म के आयतन की गणना करने का सूत्र किसी अन्य प्रिज्म या बेलन के समान व्यंजक से भिन्न नहीं है। किसी आकृति का आयतन उसकी ऊँचाई और आधार के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है:
वी=एसओएच
यदि प्रश्न में प्रिज्म आयताकार है, तो उसकी ऊंचाई आयतों द्वारा बने किनारे की लंबाई है। एक नियमित पंचकोण के क्षेत्र की गणना उच्च सटीकता के साथ ऊपर की गई है। इस मान को आयतन के सूत्र में रखें और एक नियमित पंचकोणीय प्रिज्म के लिए आवश्यक व्यंजक प्राप्त करें:
वी=1, 72ए2एच
इस प्रकार, आयतन और सतह क्षेत्र की गणनाएक नियमित पंचकोणीय प्रिज्म संभव है यदि आधार की भुजा और आकृति की ऊंचाई ज्ञात हो।
