शंकु के क्षेत्रफल के सूत्र की व्युत्पत्ति। समस्या समाधान उदाहरण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

स्थानिक आकृतियों के गुणों का अध्ययन व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। अंतरिक्ष में आंकड़ों से संबंधित विज्ञान को स्टीरियोमेट्री कहा जाता है। इस लेख में, ठोस ज्यामिति की दृष्टि से, हम एक शंकु पर विचार करेंगे और दिखाएंगे कि शंकु का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।

गोल आधार के साथ शंकु

सामान्य स्थिति में, शंकु किसी समतल वक्र पर बनी एक सतह होती है, जिसके सभी बिंदु अंतरिक्ष में एक बिंदु वाले खंडों से जुड़े होते हैं। उत्तरार्द्ध को शंकु का शीर्ष कहा जाता है।

उपरोक्त परिभाषा से, यह स्पष्ट है कि एक वक्र का एक मनमाना आकार हो सकता है, जैसे कि परवलयिक, अतिशयोक्तिपूर्ण, अण्डाकार, और इसी तरह। फिर भी, व्यवहार में और ज्यामिति की समस्याओं में, यह अक्सर एक गोल शंकु होता है जिसका अक्सर सामना किया जाता है। यह नीचे चित्र में दिखाया गया है।

यहाँ प्रतीक r आकृति के आधार पर स्थित वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है, h वृत्त के तल का लंबवत है, जो आकृति के शीर्ष से खींचा गया है। इसे ऊंचाई कहते हैं। मान s शंकु का जनक है, या उसका जनक है।

यह देखा जा सकता है कि खंड r, h और sएक समकोण त्रिभुज बनाएं। यदि इसे पैर h के चारों ओर घुमाया जाता है, तो कर्ण s शंक्वाकार सतह का वर्णन करेगा, और पैर r आकृति का गोल आधार बनाता है। इस कारण से, शंकु को क्रांति की आकृति माना जाता है। तीन नामित रैखिक पैरामीटर समानता से जुड़े हुए हैं:

एस²=आर²+ एच²

ध्यान दें कि दी गई समानता केवल एक गोल सीधे शंकु के लिए मान्य है। एक सीधी आकृति तभी होती है जब उसकी ऊंचाई आधार वृत्त के बिल्कुल केंद्र में गिरती है। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो आकृति को तिरछा कहा जाता है। सीधे और तिरछे शंकु के बीच का अंतर नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

आकार विकास

शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अध्ययन एक समतल पर विचार करके करना सुविधाजनक होता है। अंतरिक्ष में आकृतियों की सतह को निरूपित करने के इस तरीके को उनका विकास कहा जाता है। एक शंकु के लिए, यह विकास निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है: आपको एक आकृति बनाने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, कागज से। फिर, कैंची से, परिधि के चारों ओर गोल आधार काट लें। उसके बाद, जेनरेटर के साथ, शंक्वाकार सतह का एक कट बनाएं और इसे एक विमान में बदल दें। इन सरल संक्रियाओं का परिणाम शंकु का विकास होगा, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक शंकु की सतह को वास्तव में एक समतल पर निरूपित किया जा सकता है। इसमें निम्नलिखित दो भाग होते हैं:

• आकृति के आधार को दर्शाने वाला त्रिज्या r वाला वृत्त;
• g त्रिज्या वाला वृत्ताकार त्रिज्यखंड, जो एक शंक्वाकार सतह है।

शंकु के क्षेत्रफल के सूत्र में दोनों खुली हुई सतहों का क्षेत्रफल ज्ञात करना शामिल है।

एक आकृति के सतह क्षेत्र की गणना करें

आइए टास्क को दो चरणों में बांटें। पहले हम शंकु के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं, फिर शंक्वाकार सतह का क्षेत्रफल।

समस्या का पहला भाग हल करना आसान है। चूंकि त्रिज्या r दिया गया है, आधार के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए वृत्त के क्षेत्रफल के लिए संबंधित व्यंजक को याद करने के लिए पर्याप्त है। आइए इसे लिख लें:

एस_ओ=पाई × आर²

यदि त्रिज्या ज्ञात नहीं है, तो आपको पहले इसके बीच संबंध सूत्र, ऊंचाई और जनरेटर का उपयोग करके इसे खोजना चाहिए।

शंकु का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या का दूसरा भाग कुछ अधिक जटिल है। ध्यान दें कि वृत्तीय त्रिज्यखंड जेनरेटरिक्स की त्रिज्या g पर बना है और एक चाप से घिरा है जिसकी लंबाई वृत्त की परिधि के बराबर है। यह तथ्य आपको अनुपात लिखने और विचार किए गए क्षेत्र के कोण का पता लगाने की अनुमति देता है। आइए इसे ग्रीक अक्षर से निरूपित करें। यह कोण बराबर होगा:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × पाई × आर / जी

एक वृत्ताकार त्रिज्यखंड के केंद्रीय कोण φ को जानकर, आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयुक्त अनुपात का उपयोग कर सकते हैं। आइए इसे प्रतीक S_b से निरूपित करें। यह बराबर होगा:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> एस_बी;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

अर्थात, शंक्वाकार सतह का क्षेत्रफल जेनरेट्रिक्स g के गुणनफल, आधार r की त्रिज्या और संख्या Pi से मेल खाता है।

जानना कि दोनों के क्षेत्र क्या हैंमाना सतहों, हम एक शंकु के क्षेत्र के लिए अंतिम सूत्र लिख सकते हैं:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × जी=पीआई × आर × (आर + जी)

लिखित व्यंजक S की गणना करने के लिए शंकु के दो रैखिक प्राचलों का ज्ञान ग्रहण करता है। यदि g या r अज्ञात है, तो उन्हें h ऊँचाई के माध्यम से पाया जा सकता है।

शंकु के क्षेत्रफल की गणना करने की समस्या

यह ज्ञात है कि एक गोल सीधे शंकु की ऊंचाई उसके व्यास के बराबर होती है। आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है, यह जानते हुए कि इसके आधार का क्षेत्रफल 50 सेमी² है।

किसी वृत्त का क्षेत्रफल जानकर आप आकृति की त्रिज्या ज्ञात कर सकते हैं। हमारे पास है:

एस_ओ=पाई × आर²=>

r=(S_o /pi)

अब जनरेटर g को h और r के पदों में ज्ञात करते हैं। शर्त के अनुसार, आकृति की ऊंचाई h दो त्रिज्या r के बराबर है, तो:

एच=2 × आर;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

g और r के लिए पाए गए सूत्रों को शंकु के पूरे क्षेत्र के लिए व्यंजक में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। हमें मिलता है:

S=S_o+ pi × (S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

परिणामी अभिव्यक्ति में हम आधार S_o के क्षेत्र को प्रतिस्थापित करते हैं और उत्तर लिखते हैं: S 161.8 सेमी².