ज्यामिति में क्रांति के आंकड़ों पर उनकी विशेषताओं और गुणों का अध्ययन करते समय विशेष ध्यान दिया जाता है। उनमें से एक कटा हुआ शंकु है। इस लेख का उद्देश्य इस प्रश्न का उत्तर देना है कि काटे गए शंकु के क्षेत्रफल की गणना के लिए किस सूत्र का उपयोग किया जा सकता है।
हम किस आंकड़े की बात कर रहे हैं?
एक काटे गए शंकु के क्षेत्रफल का वर्णन करने से पहले, इस आकृति की सटीक ज्यामितीय परिभाषा देना आवश्यक है। कटा हुआ एक ऐसा शंकु है, जो एक समतल द्वारा एक साधारण शंकु के शीर्ष को काटने के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। इस परिभाषा में, कई बारीकियों पर जोर दिया जाना चाहिए। सबसे पहले, सेक्शन प्लेन कोन के बेस के प्लेन के समानांतर होना चाहिए। दूसरे, मूल आकृति एक गोलाकार शंकु होनी चाहिए। बेशक, यह एक अण्डाकार, अतिशयोक्तिपूर्ण और अन्य प्रकार की आकृति हो सकती है, लेकिन इस लेख में हम केवल एक गोलाकार शंकु पर विचार करने तक ही सीमित रहेंगे। उत्तरार्द्ध नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।
यह अनुमान लगाना आसान है कि इसे न केवल एक विमान द्वारा एक खंड की मदद से प्राप्त किया जा सकता है, बल्कि एक रोटेशन ऑपरेशन की मदद से भी प्राप्त किया जा सकता है। के लिएऐसा करने के लिए, आपको दो समकोण वाले एक समलम्ब को लेने की जरूरत है और इसे उस पक्ष के चारों ओर घुमाएं जो इन समकोणों से सटे हुए हैं। परिणामस्वरूप, समलम्ब चतुर्भुज के आधार काटे गए शंकु के आधारों की त्रिज्या बन जाएंगे, और समलंब का पार्श्व झुकाव वाला भाग शंक्वाकार सतह का वर्णन करेगा।
आकार विकास
एक काटे गए शंकु के सतह क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, इसके विकास को लाने के लिए उपयोगी है, अर्थात एक विमान पर त्रि-आयामी आकृति की सतह की छवि। नीचे मनमाना मापदंडों के साथ अध्ययन किए गए आंकड़े का एक स्कैन है।
यह देखा जा सकता है कि आकृति का क्षेत्रफल तीन घटकों द्वारा बनता है: दो वृत्त और एक काटे गए वृत्ताकार खंड। जाहिर है, आवश्यक क्षेत्र निर्धारित करने के लिए, सभी नामित आंकड़ों के क्षेत्रों को जोड़ना आवश्यक है। आइए इस समस्या को अगले पैराग्राफ में हल करें।
छंटे हुए शंकु क्षेत्र
निम्नलिखित तर्क को समझना आसान बनाने के लिए, हम निम्नलिखित संकेतन का परिचय देते हैं:
- r1, r2 - क्रमशः बड़े और छोटे आधारों की त्रिज्या;
- h - आंकड़ा ऊंचाई;
- g - शंकु का जनक (समलम्ब के तिरछे भाग की लंबाई)।
एक काटे गए शंकु के आधारों के क्षेत्रफल की गणना करना आसान है। आइए संबंधित भाव लिखें:
So1=pir12;
So2=pir22।
एक वृत्ताकार खंड के एक भाग का क्षेत्रफल निर्धारित करना कुछ अधिक कठिन होता है। यदि हम कल्पना करें कि इस वृत्ताकार त्रिज्यखंड का केंद्र नहीं काटा गया है, तो इसकी त्रिज्या G के मान के बराबर होगी। यदि हम संगत पर विचार करें तो इसकी गणना करना कठिन नहीं है।समकोण समकोण त्रिभुज। यह बराबर है:
जी=आर1जी/(आर1-आर2)।
तब पूरे वृत्तीय त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, जो त्रिज्या G पर बना है और जो लंबाई 2pir1 के चाप पर निर्भर करता है, बराबर होगा को:
एस1=पीआईआर1जी=पीआईआर1 2g/(r1-r2)।
अब छोटे सर्कुलर सेक्टर S2 का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं, जिसे S1 से घटाना होगा। यह बराबर है:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
शंक्वाकार काटे गए सतह का क्षेत्रफल Sb, S1 और S के बीच के अंतर के बराबर है 2। हमें मिलता है:
एसबी=एस1- एस2=पीआईआर 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2)।
कुछ बोझिल गणनाओं के बावजूद, हमें आकृति की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के लिए काफी सरल अभिव्यक्ति मिली।
आधारों और Sb के क्षेत्रों को जोड़ने पर, हम एक काटे गए शंकु के क्षेत्र के लिए सूत्र पर पहुंचते हैं:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (आर1+आर2)।
इस प्रकार, अध्ययन की गई आकृति के S के मान की गणना करने के लिए, आपको इसके तीन रैखिक मापदंडों को जानना होगा।
उदाहरण समस्या
गोलाकार सीधा शंकु10 सेमी की त्रिज्या और 15 सेमी की ऊंचाई के साथ एक विमान द्वारा काट दिया गया ताकि एक नियमित रूप से छोटा शंकु प्राप्त हो। यह जानते हुए कि काटी गई आकृति के आधारों के बीच की दूरी 10 सेमी है, इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है।
काटे गए शंकु के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करने के लिए, आपको इसके तीन मापदंडों को खोजने की आवश्यकता है। एक जिसे हम जानते हैं:
r1=10 सेमी.
यदि हम समान समकोण त्रिभुजों पर विचार करें, जो शंकु के अक्षीय खंड के परिणामस्वरूप प्राप्त होते हैं, तो अन्य दो की गणना करना आसान है। समस्या की स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
r2=105/15=3.33 सेमी.
आखिरकार, काटे गए शंकु जी का मार्गदर्शक होगा:
जी=√(102+ (आर1-आर2) 2)=12.02 सेमी.
अब आप r1, r2 और g को S:
के फॉर्मूले में बदल सकते हैं
एस=पीआईआर12+ पाईआर2 2+ पाईजी(आर1+आर2)=851.93 सेमी 2.
आकृति का वांछित सतह क्षेत्र लगभग 852 सेमी2 है।
