शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र। समस्या समाधान उदाहरण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

हाई स्कूल में स्टीरियोमेट्री का अध्ययन करने वाले प्रत्येक छात्र को एक शंकु मिला। इस स्थानिक आकृति की दो महत्वपूर्ण विशेषताएं सतह क्षेत्र और आयतन हैं। इस लेख में, हम दिखाएंगे कि एक गोल शंकु का आयतन कैसे ज्ञात किया जाता है।

गोल शंकु एक समकोण त्रिभुज के घूर्णन की आकृति के रूप में

लेख के विषय पर सीधे जाने से पहले शंकु का ज्यामितीय दृष्टिकोण से वर्णन करना आवश्यक है।

चलो कोई समकोण त्रिभुज हो। यदि आप इसे किसी भी पैर के चारों ओर घुमाते हैं, तो इस क्रिया का परिणाम वांछित आकृति होगी, जिसे नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

यहाँ, पैर AB शंकु की धुरी का हिस्सा है, और इसकी लंबाई आकृति की ऊंचाई से मेल खाती है। दूसरा पैर (खंड CA) शंकु की त्रिज्या होगी। रोटेशन के दौरान, यह एक सर्कल का वर्णन करेगा जो आकृति के आधार को बांधता है। कर्ण BC को आकृति का जनक या उसका जनक कहा जाता है। बिंदु B शंकु का एकमात्र शीर्ष है।

त्रिभुज ABC के गुणों को देखते हुए, हम genertrix g, त्रिज्या r और ऊँचाई h के बीच संबंध इस प्रकार लिख सकते हैंसमानता:

जी²=एच²+ आर²

यह सूत्र प्रश्न में आकृति के साथ कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में उपयोगी है।

शंकु आयतन सूत्र

किसी भी स्थानिक आकृति का आयतन अंतरिक्ष का क्षेत्रफल होता है, जो इस आकृति की सतहों द्वारा सीमित होता है। एक शंकु के लिए ऐसी दो सतहें होती हैं:

1. पार्श्व, या शंक्वाकार। यह सभी जनकों से बनता है।
2. फाउंडेशन। इस मामले में, यह एक वृत्त है।

शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र प्राप्त करें। ऐसा करने के लिए, हम मानसिक रूप से इसे आधार के समानांतर कई परतों में काटते हैं। प्रत्येक परत की मोटाई dx होती है, जो शून्य हो जाती है। क्षेत्र S_x आकृति के शीर्ष से x दूरी पर परत का क्षेत्र निम्नलिखित अभिव्यक्ति के बराबर है:

एस_x=पाईआर²x²/एच ²

इस अभिव्यक्ति की वैधता x=0 और x=h मानों को प्रतिस्थापित करके सहज रूप से सत्यापित की जा सकती है। पहले मामले में, हमें शून्य के बराबर क्षेत्रफल मिलेगा, दूसरे मामले में, यह गोल आधार के क्षेत्रफल के बराबर होगा।

शंकु की मात्रा निर्धारित करने के लिए, आपको प्रत्येक परत के छोटे "वॉल्यूम" को जोड़ने की जरूरत है, यानी आपको इंटीग्रल कैलकुलस का उपयोग करना चाहिए:

वी=∫₀^एच(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^एच(x²डीएक्स)

इस समाकलन की गणना करते हुए, हम एक गोल शंकु के लिए अंतिम सूत्र पर पहुंचते हैं:

वी=1/3पीआईआर²एच

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यह सूत्र पूरी तरह से उसी के समान है जिसका उपयोग एक मनमाना पिरामिड के आयतन की गणना के लिए किया जाता है। यह संयोग आकस्मिक नहीं है, क्योंकि कोई भी पिरामिड शंकु बन जाता है जब उसके किनारों की संख्या अनंत तक बढ़ जाती है।

मात्रा गणना समस्या

समस्या को हल करने का एक उदाहरण देना उपयोगी है, जो वॉल्यूम V के लिए व्युत्पन्न सूत्र के उपयोग को प्रदर्शित करेगा।

एक गोल शंकु दिया है जिसका आधार क्षेत्रफल 37 सेमी² है और आकृति का जनक त्रिज्या का तीन गुना है। शंकु का आयतन क्या है?

अगर हम दो मात्राएँ जानते हैं तो हमें आयतन सूत्र का उपयोग करने का अधिकार है: ऊँचाई h और त्रिज्या r। आइए उन सूत्रों को खोजें जो समस्या की स्थिति के अनुसार उन्हें निर्धारित करते हैं।

त्रिज्या r की गणना वृत्त S_o के क्षेत्रफल को जानकर की जा सकती है, हमारे पास है:

एस_ओ=पाईआर²=>

r=(S_o/pi)

समस्या की स्थिति का उपयोग करते हुए, हम जनरेटर जी के लिए समानता लिखते हैं:

g=3r=3√(S_o/pi)

आर और जी के सूत्रों को जानकर, ऊंचाई की गणना करें:

h=√(g²- r²)=(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

हमें सभी आवश्यक पैरामीटर मिल गए हैं। अब उन्हें V:

के सूत्र में शामिल करने का समय आ गया है

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /पीआई)

बदलना बाकी हैआधार क्षेत्र S_o और आयतन मान की गणना करें: V=119.75 सेमी³।