एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आयतन। सूत्र और कार्यों के उदाहरण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

किसी भी स्थानिक आकृति का अध्ययन करते समय, यह जानना महत्वपूर्ण है कि इसके आयतन की गणना कैसे की जाती है। यह लेख एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आयतन के लिए एक सूत्र प्रदान करता है, और यह भी दिखाता है कि समस्याओं को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके इस सूत्र का उपयोग कैसे किया जाना चाहिए।

हम किस पिरामिड की बात कर रहे हैं?

हर हाई स्कूल का छात्र जानता है कि पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसमें त्रिकोण और एक बहुभुज होता है। उत्तरार्द्ध आकृति का आधार है। त्रिभुजों में आधार के साथ एक उभयनिष्ठ भुजा होती है और एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है, जो पिरामिड का शीर्ष है।

प्रत्येक पिरामिड को आधार के किनारों की लंबाई, किनारे के किनारों की लंबाई और ऊंचाई की विशेषता है। उत्तरार्द्ध एक लंबवत खंड है, जो आकृति के ऊपर से आधार तक नीचे है।

एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड एक वर्गाकार आधार वाली आकृति है, जिसकी ऊंचाई इस वर्ग को इसके केंद्र में काटती है। शायद इस प्रकार के पिरामिडों का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण प्राचीन मिस्र की पत्थर की संरचनाएं हैं। नीचे एक फोटो हैचेप्स के पिरामिड।

अध्ययनाधीन आकृति में पाँच फलक हैं, जिनमें से चार समद्विबाहु त्रिभुज हैं। इसकी विशेषता पाँच शीर्षों से भी है, जिनमें से चार आधार से संबंधित हैं, और आठ किनारे (आधार के 4 किनारे और पार्श्व फलक के 4 किनारे)।

चतुष्कोणीय पिरामिड के आयतन का सूत्र सही है

आकृति का आयतन अंतरिक्ष का एक हिस्सा है जो पांच पक्षों द्वारा सीमित है। इस मात्रा की गणना करने के लिए, हम पिरामिड S_z के आधार के समानांतर एक स्लाइस के क्षेत्र की निर्भरता का उपयोग ऊर्ध्वाधर निर्देशांक z:

पर करते हैं।

एस_जेड=एस_ओ (एच - जेड/एच)²

यहाँ S_o वर्गाकार आधार का क्षेत्रफल है। यदि हम लिखित व्यंजक में z=h को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें S_z के लिए एक शून्य मान प्राप्त होगा। Z का यह मान उस स्लाइस से मेल खाता है जिसमें केवल पिरामिड का शीर्ष होगा। यदि z=0 है, तो हमें आधार क्षेत्र S_o का मान प्राप्त होता है।

यदि आप फ़ंक्शन S_z(z) जानते हैं तो पिरामिड का आयतन ज्ञात करना आसान है, इसके लिए यह आंकड़ा को अनंत संख्या में काटने के लिए पर्याप्त है आधार के समानांतर परतें, और फिर एकीकरण ऑपरेशन करें। मैं इस तकनीक का पालन करता हूं, हमें मिलता है:

वी=∫₀^एच(एस_जेड)dz=-S ₀(h-z)³ / (3h²)|₀ ^एच=1/3एस₀एच.

क्योंकि एस₀ isवर्गाकार आधार का क्षेत्रफल, फिर, वर्ग की भुजा को अक्षर a से निरूपित करते हुए, हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आयतन के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

वी=1/3ए²एच.

अब इस व्यंजक को कैसे लागू किया जाना चाहिए, यह दिखाने के लिए समस्या समाधान के उदाहरणों का उपयोग करते हैं।

पिरामिड का आयतन उसके एपोथेम और साइड एज के माध्यम से निर्धारित करने की समस्या

पिरामिड का एपोथेम उसके पार्श्व त्रिभुज की ऊंचाई है, जो आधार के किनारे तक नीचे होता है। चूँकि एक नियमित पिरामिड में सभी त्रिभुज समान होते हैं, उनके एपोथेम भी समान होंगे। आइए हम इसकी लंबाई को प्रतीक h_b से निरूपित करें। पार्श्व किनारे को b के रूप में निरूपित करें।

यह जानते हुए कि पिरामिड का एपोटेम 12 सेमी है, और इसका पार्श्व किनारा 15 सेमी है, एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए।

पिछले पैराग्राफ में लिखे गए आंकड़े के आयतन के सूत्र में दो पैरामीटर हैं: साइड की लंबाई a और ऊंचाई h। फिलहाल, हम उनमें से किसी को भी नहीं जानते हैं, तो आइए एक नजर डालते हैं उनकी गणना पर।

एक वर्ग a की भुजा की लंबाई की गणना करना आसान है यदि आप एक समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं, जिसमें कर्ण किनारे b है, और पैर एपोथेम h _{हैं b} और आधार की भुजा का आधा भाग a/2. हमें मिलता है:

बी²=एच_बी²+ ए² /4=>

a=2√(b²- h_b²)।

कंडीशन से ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें a=18 cm का मान प्राप्त होता है।

पिरामिड की ऊंचाई h की गणना करने के लिए, आप दो काम कर सकते हैं: एक आयताकार पर विचार करेंकर्ण-पार्श्व किनारे या कर्ण-एपोथेम के साथ एक त्रिभुज। दोनों विधियां समान हैं और इसमें समान संख्या में गणितीय संक्रियाओं का प्रदर्शन शामिल है। आइए हम एक त्रिभुज के विचार पर ध्यान दें, जहां कर्ण h_b है। इसमें पैर h और a/2 होंगे। तब हमें मिलता है:

एच=√(एच_बी²-ए²/4)=√(12 ²- 18²/4)=7, 937 सेमी.

अब आप वॉल्यूम V के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

V=1/3a²h=1/318²7, 937=857, 196 सेमी ³.

इस प्रकार, एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आयतन लगभग 0.86 लीटर होता है।

चेप्स के पिरामिड का आयतन

अब एक दिलचस्प और व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण समस्या को हल करते हैं: गीज़ा में सबसे बड़े पिरामिड का आयतन ज्ञात करें। साहित्य से ज्ञात होता है कि भवन की मूल ऊँचाई 146.5 मीटर थी और इसके आधार की लंबाई 230.363 मीटर है। ये संख्याएँ हमें V की गणना के लिए सूत्र लागू करने की अनुमति देती हैं। हमें मिलता है:

V=1/3a²h=1/3230, 363^{146, 5 ≈ 2591444 मीटर} 3

परिणामस्वरूप मूल्य लगभग 2.6 मिलियन मी³ है। यह आयतन उस घन के आयतन से मेल खाता है जिसकी भुजा 137.4 मीटर है।