प्रिज्म एक पॉलीहेड्रॉन या पॉलीहेड्रॉन है, जिसका अध्ययन ठोस ज्यामिति के स्कूल पाठ्यक्रम में किया जाता है। इस बहुफलक के महत्वपूर्ण गुणों में से एक इसका आयतन है। आइए लेख में विचार करें कि इस मूल्य की गणना कैसे की जा सकती है, और प्रिज्म की मात्रा के लिए सूत्र भी दें - नियमित चतुर्भुज और हेक्सागोनल।
स्टीरियोमेट्री में प्रिज्म
इस आकृति को एक पॉलीहेड्रॉन के रूप में समझा जाता है, जिसमें समानांतर विमानों में स्थित दो समान बहुभुज होते हैं, और कई समांतर चतुर्भुज होते हैं। कुछ प्रकार के प्रिज्मों के लिए, समांतर चतुर्भुज आयताकार चतुर्भुज या वर्गों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। नीचे तथाकथित पंचकोणीय प्रिज्म का एक उदाहरण है।
उपरोक्त आकृति के अनुसार एक आकृति बनाने के लिए, आपको एक पेंटागन लेने और अंतरिक्ष में एक निश्चित दूरी तक इसके समानांतर स्थानांतरण को अंजाम देने की आवश्यकता है। दो पंचभुजों की भुजाओं को समांतर चतुर्भुजों से जोड़ने पर हमें वांछित प्रिज्म प्राप्त होता है।
हर प्रिज्म में चेहरे, कोने और किनारे होते हैं। प्रिज्म के शीर्षपिरामिड के विपरीत, समान हैं, उनमें से प्रत्येक दो आधारों में से एक को संदर्भित करता है। फलक और किनारे दो प्रकार के होते हैं: वे जो आधारों से संबंधित होते हैं और वे जो भुजाओं से संबंधित होते हैं।
प्रिज्म कई प्रकार के होते हैं (सही, तिरछा, उत्तल, सीधा, अवतल)। आइए लेख में बाद में विचार करें कि आकृति के आकार को ध्यान में रखते हुए, प्रिज्म के आयतन की गणना किस सूत्र द्वारा की जाती है।
प्रिज्म का आयतन निर्धारित करने के लिए सामान्य व्यंजक
चाहे अध्ययन के तहत आंकड़ा किस प्रकार का है, चाहे वह सीधा हो या तिरछा, नियमित या अनियमित, एक सार्वभौमिक अभिव्यक्ति है जो आपको इसकी मात्रा निर्धारित करने की अनुमति देती है। एक स्थानिक आकृति का आयतन अंतरिक्ष का वह क्षेत्र है जो उसके चेहरों के बीच घिरा होता है। प्रिज्म के आयतन का सामान्य सूत्र है:
वी=एसओ × एच।
यहाँ So आधार के क्षेत्रफल को दर्शाता है। यह याद रखना चाहिए कि हम एक आधार की बात कर रहे हैं, दो की नहीं। h मान ऊँचाई है। अध्ययन के तहत आकृति की ऊंचाई को उसके समरूप आधारों के बीच की दूरी के रूप में समझा जाता है। यदि यह दूरी पार्श्व पसलियों की लंबाई के साथ मेल खाती है, तो एक सीधे प्रिज्म की बात करता है। एक सीधी आकृति में, सभी भुजाएँ आयत होती हैं।
इस प्रकार, यदि एक प्रिज्म तिरछा है और एक अनियमित आधार बहुभुज है, तो उसके आयतन की गणना करना अधिक जटिल हो जाता है। यदि आंकड़ा सीधा है, तो मात्रा की गणना केवल आधार So के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए कम की जाती है।
एक नियमित आकृति का आयतन निर्धारित करना
नियमित कोई भी प्रिज्म है जो सीधा होता है और एक बहुभुज आधार होता है जिसकी भुजाएँ और कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे नियमित बहुभुज एक वर्ग और एक समबाहु त्रिभुज होते हैं। साथ ही, एक समचतुर्भुज एक नियमित आकृति नहीं है, क्योंकि इसके सभी कोण बराबर नहीं होते हैं।
नियमित प्रिज्म के आयतन का सूत्र स्पष्ट रूप से V के सामान्य व्यंजक से अनुसरण करता है, जो लेख के पिछले पैराग्राफ में लिखा गया था। संबंधित सूत्र लिखने के लिए आगे बढ़ने से पहले, सही आधार के क्षेत्र को निर्धारित करना आवश्यक है। गणितीय विवरण में जाने के बिना, हम संकेतित क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए सूत्र प्रस्तुत करते हैं। यह किसी भी नियमित एन-गॉन के लिए सार्वभौमिक है और इसके निम्नलिखित रूप हैं:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2।
जैसा कि आप व्यंजक से देख सकते हैं, क्षेत्र Sn दो मापदंडों का एक फलन है। एक पूर्णांक n 3 से अनंत तक मान ले सकता है। मान a, n-gon की भुजा की लंबाई है।
किसी आकृति के आयतन की गणना करने के लिए, केवल क्षेत्र S को ऊँचाई h या किनारे के किनारे b (h=b) की लंबाई से गुणा करना आवश्यक है।. परिणामस्वरूप, हम निम्नलिखित कार्य सूत्र पर पहुँचते हैं:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
ध्यान दें कि एक मनमाना प्रकार के प्रिज्म का आयतन निर्धारित करने के लिए, आपको कई मात्राएँ (आधार की भुजाओं की लंबाई, ऊँचाई, आकृति के डायहेड्रल कोण) जानने की आवश्यकता होती है, लेकिन मान V की गणना करने के लिए एक नियमित प्रिज्म, हमें केवल दो रैखिक मापदंडों को जानने की जरूरत है, उदाहरण के लिए, a और h ।
चतुष्कोणीय नियमित प्रिज्म का आयतन
चतुष्कोणीय प्रिज्म को समानांतर चतुर्भुज कहा जाता है। यदि इसके सभी फलक समान हों और वर्ग हों, तो ऐसी आकृति एक घन होगी। प्रत्येक छात्र जानता है कि एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज या घन का आयतन इसकी तीन अलग-अलग भुजाओं (लंबाई, ऊँचाई और चौड़ाई) को गुणा करके निर्धारित किया जाता है। यह तथ्य एक नियमित आकृति के लिए लिखित सामान्य आयतन व्यंजक से अनुसरण करता है:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
यहाँ 45° का कोटैंजेंट 1 के बराबर है। ध्यान दें कि ऊँचाई h की समानता और आधार की भुजा की लंबाई स्वचालित रूप से एक घन के आयतन के सूत्र की ओर ले जाती है।
हेक्सागोनल रेगुलर प्रिज्म का आयतन
अब उपरोक्त सिद्धांत को एक हेक्सागोनल आधार के साथ एक आकृति की मात्रा निर्धारित करने के लिए लागू करें। ऐसा करने के लिए, आपको सूत्र में n=6 मान को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है:
वी=6/4 × सीटीजी (पीआई / 6) × ए2 × एच=3 × √3/2 × ए2 × ज.
एस के सार्वभौमिक सूत्र का उपयोग किए बिना लिखित अभिव्यक्ति स्वतंत्र रूप से प्राप्त की जा सकती है। ऐसा करने के लिए, आपको नियमित षट्भुज को छह समबाहु त्रिभुजों में विभाजित करने की आवश्यकता है। उनमें से प्रत्येक की भुजा a के बराबर होगी। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न से मेल खाता है:
एस3=√3/4 × ए2।
इस मान को त्रिभुजों की संख्या (6) और ऊँचाई से गुणा करने पर, हमें आयतन के लिए उपरोक्त सूत्र प्राप्त होता है।
