व्यवहार में, अक्सर ऐसे कार्य उत्पन्न होते हैं जिनमें विभिन्न आकृतियों के ज्यामितीय आकृतियों के अनुभाग बनाने और अनुभागों का क्षेत्रफल ज्ञात करने की क्षमता की आवश्यकता होती है। इस लेख में, हम देखेंगे कि प्रिज्म, पिरामिड, शंकु और सिलेंडर के महत्वपूर्ण खंड कैसे बनाए जाते हैं, और उनके क्षेत्रों की गणना कैसे की जाती है।
3डी आंकड़े
स्टीरियोमेट्री से यह ज्ञात होता है कि किसी भी प्रकार की त्रि-आयामी आकृति कई सतहों द्वारा सीमित होती है। उदाहरण के लिए, प्रिज्म और पिरामिड जैसे पॉलीहेड्रा के लिए, ये सतह बहुभुज पक्ष हैं। एक बेलन और एक शंकु के लिए, हम बेलनाकार और शंक्वाकार आकृतियों के परिक्रमण की सतहों के बारे में बात कर रहे हैं।
यदि हम एक तल लें और मनमाने ढंग से एक त्रि-आयामी आकृति की सतह को काट दें, तो हमें एक खंड मिलेगा। इसका क्षेत्रफल समतल के उस भाग के क्षेत्रफल के बराबर होता है जो आकृति के आयतन के अंदर होगा। इस क्षेत्र का न्यूनतम मान शून्य होता है, जिसका एहसास तब होता है जब समतल आकृति को स्पर्श करता है। उदाहरण के लिए, एक खंड जो एक बिंदु से बनता है, प्राप्त होता है यदि विमान पिरामिड या शंकु के शीर्ष से गुजरता है। क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र का अधिकतम मूल्य निर्भर करता हैआकृति और तल की सापेक्ष स्थिति, साथ ही आकृति का आकार और आकार।
नीचे, हम विचार करेंगे कि क्रांति के दो आंकड़ों (सिलेंडर और शंकु) और दो पॉलीहेड्रा (पिरामिड और प्रिज्म) के लिए गठित वर्गों के क्षेत्र की गणना कैसे करें।
सिलेंडर
वृत्तीय बेलन एक आयत के किसी भी भुजा के चारों ओर घूमने की एक आकृति है। सिलेंडर को दो रैखिक मापदंडों की विशेषता है: आधार त्रिज्या r और ऊंचाई h। नीचे दिया गया चित्र दिखाता है कि एक गोलाकार सीधा सिलेंडर कैसा दिखता है।
इस आकृति के लिए तीन महत्वपूर्ण खंड प्रकार हैं:
- दौर;
- आयताकार;
- अण्डाकार।
अण्डाकार का निर्माण विमान के आधार से किसी कोण पर आकृति की पार्श्व सतह को प्रतिच्छेद करने के परिणामस्वरूप होता है। राउंड सिलेंडर के आधार के समानांतर साइड सतह के कटिंग प्लेन के प्रतिच्छेदन का परिणाम है। अंत में, एक आयताकार प्राप्त होता है यदि काटने वाला विमान सिलेंडर की धुरी के समानांतर होता है।
गोलाकार क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
एस1=पाईआर2
अक्षीय खंड का क्षेत्रफल, अर्थात आयताकार, जो बेलन की धुरी से होकर गुजरता है, इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
एस2=2आरएच
शंकु खंड
शंकु एक पैर के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज के घूमने की आकृति है। शंकु में एक शीर्ष और एक गोल आधार होता है। इसके पैरामीटर त्रिज्या r और ऊंचाई h भी हैं। एक कागज शंकु का एक उदाहरण नीचे दिखाया गया है।
शंकु खंड कई प्रकार के होते हैं। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें:
- दौर;
- अण्डाकार;
- परवलयिक;
- अतिशयोक्तिपूर्ण;
- त्रिकोणीय।
यदि आप गोल आधार के सापेक्ष सेकेंट प्लेन के झुकाव के कोण को बढ़ाते हैं तो वे एक दूसरे की जगह लेते हैं। सबसे आसान तरीका है कि वृत्ताकार और त्रिभुजाकार क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र के लिए सूत्रों को लिखना।
आधार के समानांतर एक समतल के साथ एक शंक्वाकार सतह के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप एक गोलाकार खंड बनता है। इसके क्षेत्रफल के लिए निम्न सूत्र मान्य है:
एस1=पाईआर2z2/एच 2
यहाँ z आकृति के शीर्ष से बने खंड तक की दूरी है। यह देखा जा सकता है कि यदि z=0 है, तो विमान केवल शीर्ष से होकर गुजरता है, इसलिए क्षेत्र S1 शून्य के बराबर होगा। z < h के बाद से, अध्ययन के तहत अनुभाग का क्षेत्रफल हमेशा आधार के लिए इसके मान से कम होगा।
त्रिकोण तब प्राप्त होता है जब समतल आकृति को उसके घूर्णन अक्ष के अनुदिश काटता है। परिणामी खंड का आकार एक समद्विबाहु त्रिभुज होगा, जिसके किनारे आधार के व्यास और शंकु के दो जनरेटर होंगे। त्रिभुज के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इस प्रश्न का उत्तर निम्न सूत्र होगा:
एस2=आरएच
यह समानता एक मनमाना त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए उसके आधार की लंबाई और ऊंचाई के माध्यम से सूत्र को लागू करने से प्राप्त होती है।
प्रिज्म सेक्शन
प्रिज्म आकृतियों का एक बड़ा वर्ग है जो एक दूसरे के समानांतर दो समान बहुभुज आधारों की उपस्थिति की विशेषता है,समांतर चतुर्भुज द्वारा जुड़ा हुआ है। प्रिज्म का कोई भी भाग एक बहुभुज होता है। विचाराधीन आकृतियों (तिरछे, सीधे, n-गोनल, नियमित, अवतल प्रिज्म) की विविधता को देखते हुए, उनके वर्गों की विविधता भी महान है। नीचे, हम केवल कुछ विशेष मामलों पर विचार करते हैं।
अगर कटिंग प्लेन बेस के समानांतर है, तो प्रिज्म का क्रॉस-सेक्शनल एरिया इस बेस के एरिया के बराबर होगा।
यदि तल दो आधारों के ज्यामितीय केंद्रों से होकर गुजरता है, अर्थात यह आकृति के पार्श्व किनारों के समानांतर है, तो खंड में एक समांतर चतुर्भुज बनता है। सीधे और नियमित प्रिज्म के मामले में, माना गया खंड दृश्य एक आयत होगा।
पिरामिड
पिरामिड एक अन्य बहुफलक है जिसमें एक n-गॉन और n त्रिभुज होते हैं। त्रिकोणीय पिरामिड का एक उदाहरण नीचे दिखाया गया है।
यदि खंड n-गोनल आधार के समांतर समतल द्वारा खींचा जाता है, तो इसका आकार बिल्कुल आधार के आकार के बराबर होगा। ऐसे खंड के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
एस1=एसओ(एच-जेड)2/एच 2
जहाँ z आधार से खंड तल की दूरी है, So आधार का क्षेत्रफल है।
यदि काटने वाले विमान में पिरामिड का शीर्ष होता है और उसके आधार को काटता है, तो हमें एक त्रिकोणीय खंड मिलता है। इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको त्रिभुज के लिए उपयुक्त सूत्र का उपयोग करना चाहिए।
