सर्कल क्या है, इसका सामान्य विचार प्राप्त करने के लिए, एक अंगूठी या घेरा देखें। आप एक गोल गिलास और एक कप भी ले सकते हैं, इसे कागज के एक टुकड़े पर उल्टा रख सकते हैं और इसे एक पेंसिल से गोल कर सकते हैं। कई आवर्धन के साथ, परिणामी रेखा मोटी हो जाएगी और काफी सम नहीं होगी, और इसके किनारे धुंधले होंगे। एक ज्यामितीय आकृति के रूप में वृत्त में मोटाई जैसी विशेषता नहीं होती है।
परिधि: विवरण की परिभाषा और मुख्य साधन
एक वृत्त एक बंद वक्र होता है जिसमें एक ही तल में स्थित बिंदुओं का एक समूह होता है और वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर होता है। इस मामले में, केंद्र एक ही विमान में है। एक नियम के रूप में, यह O.
अक्षर द्वारा इंगित किया गया है
वृत्त के किसी भी बिंदु से केंद्र तक की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है और इसे R अक्षर से दर्शाया जाता है।
यदि आप वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ते हैं, तो परिणामी खंड जीवा कहलाएगा। वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली जीवा व्यास है, जिसे अक्षर D द्वारा निरूपित किया जाता है। व्यास वृत्त को दो बराबर चापों में विभाजित करता है और त्रिज्या की लंबाई का दोगुना होता है। तो डी=2आर, या आर=डी/2.
जीवाओं के गुण
- यदि आप वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं के माध्यम से एक जीवा खींचते हैं, और फिर बाद वाले पर एक त्रिज्या या व्यास लंबवत खींचते हैं, तो यह खंड जीवा और उसके द्वारा काटे गए चाप दोनों को दो बराबर भागों में विभाजित कर देगा। विलोम भी सत्य है: यदि त्रिज्या (व्यास) जीवा को आधे में विभाजित करती है, तो वह उस पर लंबवत होती है।
- यदि एक ही वृत्त के भीतर दो समानांतर जीवाएँ खींची जाती हैं, तो उनके द्वारा काटे गए चाप और उनके बीच संलग्न चाप बराबर होंगे।
- आइए दो जीवाएँ PR और QS बनाते हैं जो एक वृत्त के भीतर बिंदु T पर प्रतिच्छेद करती हैं। एक जीवा के खंडों का गुणनफल हमेशा दूसरी जीवा के खंडों के गुणनफल के बराबर होगा, अर्थात PT x TR=क्यूटी एक्स टीएस।
परिधि: सामान्य अवधारणा और बुनियादी सूत्र
इस ज्यामितीय आकृति की मूल विशेषताओं में से एक परिधि है। सूत्र त्रिज्या, व्यास और स्थिरांक "π" जैसे मानों का उपयोग करके व्युत्पन्न किया गया है, जो एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात की स्थिरता को दर्शाता है।
इस प्रकार, L=πD, या L=2πR, जहाँ L परिधि है, D व्यास है, R त्रिज्या है।
किसी वृत्त की परिधि के सूत्र को किसी दी गई परिधि के लिए त्रिज्या या व्यास ज्ञात करने का प्रारंभिक सूत्र माना जा सकता है: D=L/π, R=L/2π.
एक वृत्त क्या है: बुनियादी अभिधारणाएँ
1. एक समतल पर एक सीधी रेखा और एक वृत्त इस प्रकार स्थित किया जा सकता है:
- समान बिंदु नहीं हैं;
- एक उभयनिष्ठ बिंदु है, जबकि रेखा को स्पर्शरेखा कहा जाता है: यदि आप केंद्र और बिंदु के माध्यम से एक त्रिज्या खींचते हैंस्पर्श करें, यह स्पर्शरेखा के लंबवत होगा;
- दो उभयनिष्ठ बिंदु हैं, जबकि रेखा को एक छेदक कहा जाता है।
2. एक ही तल में पड़े तीन मनमाना बिंदुओं के माध्यम से, अधिक से अधिक एक वृत्त खींचा जा सकता है।
3. दो वृत्त केवल एक बिंदु पर स्पर्श कर सकते हैं, जो इन वृत्तों के केंद्रों को जोड़ने वाले खंड पर स्थित है।
4. केंद्र के चारों ओर किसी भी घूर्णन के साथ, वृत्त स्वयं में बदल जाता है।
5. समरूपता की दृष्टि से एक वृत्त क्या है?
- किसी भी बिंदु पर समान रेखा वक्रता;
- बिंदु O के बारे में केंद्रीय समरूपता;
- व्यास के बारे में दर्पण समरूपता।
6. यदि आप एक ही वृत्ताकार चाप के आधार पर दो मनमाना खुदा हुआ कोण बनाते हैं, तो वे बराबर होंगे। एक चाप पर आधारित कोण वृत्त की आधी परिधि के बराबर होता है, अर्थात जीवा-व्यास से काटा जाता है, हमेशा 90 ° होता है।
7. यदि हम समान लंबाई की बंद वक्र रेखाओं की तुलना करते हैं, तो यह पता चलता है कि वृत्त सबसे बड़े क्षेत्र के तल के खंड को परिसीमित करता है।
एक त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त और उसके चारों ओर वर्णित
इस ज्यामितीय आकृति और त्रिभुजों के बीच संबंध के विवरण के बिना एक वृत्त क्या है इसका एक विचार अधूरा होगा।
- किसी त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त बनाते समय, उसका केंद्र हमेशा त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक के प्रतिच्छेद बिंदु के साथ संपाती होगा।
- परिबद्ध त्रिभुज का केंद्र चौराहे पर स्थित हैत्रिभुज के प्रत्येक पक्ष के मध्य लंबवत।
- यदि आप एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करते हैं, तो इसका केंद्र कर्ण के मध्य में होगा, अर्थात बाद वाला व्यास होगा।
- यदि निर्माण का आधार एक समबाहु त्रिभुज है, तो उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र एक ही बिंदु पर होंगे।
वृत्त और चतुर्भुज के बारे में मूल कथन
- एक वृत्त को उत्तल चतुर्भुज के चारों ओर तभी परिबद्ध किया जा सकता है जब उसके सम्मुख अंतः कोणों का योग 180° हो।
- एक उत्तल चतुर्भुज में खुदा हुआ एक वृत्त बनाना संभव है यदि इसकी विपरीत भुजाओं की लंबाई का योग समान हो।
- एक समांतर चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना संभव है यदि उसके कोण समकोण हों।
- आप एक वृत्त को एक समांतर चतुर्भुज में अंकित कर सकते हैं यदि इसकी सभी भुजाएँ समान हों, अर्थात यह एक समचतुर्भुज है।
- एक समलम्ब के कोणों के माध्यम से एक वृत्त का निर्माण तभी संभव है जब वह समद्विबाहु हो। इस मामले में, परिचालित वृत्त का केंद्र चतुर्भुज के समरूपता अक्ष के प्रतिच्छेदन और पक्ष में खींचे गए माध्यिका के चौराहे पर स्थित होगा।
