त्रिकोण सबसे आम ज्यामितीय आकृतियों में से एक है, जिससे हम प्राथमिक विद्यालय में पहले से ही परिचित हैं। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए, इस प्रश्न का सामना ज्यामिति के पाठों में प्रत्येक छात्र द्वारा किया जाता है। तो, किसी दिए गए आंकड़े के क्षेत्र को खोजने की क्या विशेषताएं हैं जिन्हें प्रतिष्ठित किया जा सकता है? इस लेख में, हम ऐसे कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक बुनियादी सूत्रों पर विचार करेंगे, साथ ही त्रिभुजों के प्रकारों का विश्लेषण करेंगे।
त्रिभुज के प्रकार
आप त्रिभुज का क्षेत्रफल पूरी तरह से अलग-अलग तरीकों से ज्ञात कर सकते हैं, क्योंकि ज्यामिति में एक से अधिक प्रकार की आकृतियाँ होती हैं जिनमें तीन कोण होते हैं। इन प्रजातियों में शामिल हैं:
- तीक्ष्ण त्रिभुज।
- विषमकोण।
- समबाहु (सही)।
- समकोण त्रिभुज।
- समद्विबाहु।
आइए प्रत्येक मौजूदा प्रकार के त्रिभुजों पर करीब से नज़र डालें।
तीव्रत्रिकोण
ऐसी ज्यामितीय आकृति ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में सबसे आम मानी जाती है। जब एक मनमाना त्रिभुज बनाना आवश्यक हो जाता है, तो यह विकल्प बचाव में आता है।
एक न्यूनकोण त्रिभुज में, जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, सभी कोण न्यूनकोण हैं और इनका योग 180° है।
विषमकोण त्रिभुज
यह त्रिभुज भी बहुत सामान्य है, लेकिन न्यूनकोण वाले त्रिभुज से कुछ कम सामान्य है। उदाहरण के लिए, त्रिभुजों को हल करते समय (अर्थात, आप इसकी कई भुजाओं और कोणों को जानते हैं और आपको शेष तत्वों को खोजने की आवश्यकता होती है), कभी-कभी आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता होती है कि कोण अधिक है या नहीं। एक अधिक कोण की कोज्या एक ऋणात्मक संख्या होती है।
एक अधिक त्रिभुज में, कोणों में से एक का मान 90° से अधिक होता है, इसलिए शेष दो कोण छोटे मान ले सकते हैं (उदाहरण के लिए, 15° या 3°)।
इस प्रकार के त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको कुछ बारीकियों को जानना होगा, जिसके बारे में हम बाद में बात करेंगे।
नियमित और समद्विबाहु त्रिभुज
एक नियमित बहुभुज एक आकृति है जिसमें n कोण शामिल हैं और सभी पक्ष और कोण बराबर हैं। यह सही त्रिकोण है। चूँकि त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है, तीनों कोणों में से प्रत्येक 60° होता है।
एक समबाहु त्रिभुज अपने गुण के कारण समबाहु आकृति भी कहलाती है।
यह भी ध्यान देने योग्य है किएक नियमित त्रिभुज को केवल एक वृत्त के साथ अंकित किया जा सकता है और उसके चारों ओर केवल एक वृत्त बनाया जा सकता है, और उनके केंद्र एक बिंदु पर स्थित होते हैं।
समबाहु प्रकार के अलावा, कोई एक समद्विबाहु त्रिभुज भी चुन सकता है, जो इससे थोड़ा अलग हो। ऐसे त्रिभुज में, दो भुजाएँ और दो कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं, और तीसरी भुजा (जिससे समान कोण जुड़े होते हैं) आधार होता है।
आकृति एक समद्विबाहु त्रिभुज DEF दिखाती है, जिनमें से कोण D और F बराबर हैं, और DF आधार है।
समकोण त्रिभुज
एक समकोण त्रिभुज का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि इसका एक कोण समकोण है, जो कि 90° के बराबर है। अन्य दो कोणों का योग 90° होता है।
90° के कोण के विपरीत स्थित ऐसे त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा कर्ण है, जबकि इसकी अन्य दो भुजाएँ टाँगें हैं। इस प्रकार के त्रिभुजों के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू होता है:
पैरों की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है।
आकृति एक समकोण त्रिभुज BAC को दर्शाती है जिसमें कर्ण AC और पैर AB और BC हैं।
एक समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उसके पैरों के संख्यात्मक मान जानने होंगे।
आइए इस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रों पर चलते हैं।
मूल क्षेत्र सूत्र
ज्यामिति में, दो सूत्र हैं जो अधिकांश प्रकार के त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयुक्त हैं, अर्थात् न्यूनकोण, अधिक कोण, नियमित औरसमद्विबाहु त्रिभुज। आइए उनमें से प्रत्येक का विश्लेषण करें।
अगल-बगल और ऊंचाई
यह सूत्र उस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सार्वभौमिक है जिस पर हम विचार कर रहे हैं। ऐसा करने के लिए, पक्ष की लंबाई और उस पर खींची गई ऊंचाई की लंबाई जानना पर्याप्त है। सूत्र स्वयं (आधार और ऊंचाई का आधा उत्पाद) इस तरह दिखता है:
एस=½एएच, जहाँ A दिए गए त्रिभुज की भुजा है और H त्रिभुज की ऊँचाई है।
उदाहरण के लिए, एक न्यूनकोण त्रिभुज ACB का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी भुजा AB को ऊँचाई CD से गुणा करना होगा और परिणामी मान को दो से विभाजित करना होगा।
हालांकि, इस तरह से त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालना हमेशा आसान नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक अधिक कोण वाले त्रिभुज के लिए इस सूत्र का उपयोग करने के लिए, आपको इसकी एक भुजा जारी रखनी होगी और उसके बाद ही इसकी ऊँचाई खींचनी होगी।
व्यवहार में, यह सूत्र दूसरों की तुलना में अधिक बार प्रयोग किया जाता है।
दो तरफ और एक कोने पर
यह सूत्र, पिछले वाले की तरह, अधिकांश त्रिभुजों के लिए उपयुक्त है और इसके अर्थ में एक त्रिभुज की भुजा और ऊँचाई से क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र का परिणाम है। यानी विचाराधीन सूत्र को पिछले वाले से आसानी से निकाला जा सकता है। उसका शब्दांकन इस तरह दिखता है:
एस=½पापएबी, जहाँ A और B एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं और O भुजा A और B के बीच का कोण है।
याद रखें कि एक कोण की साइन को उत्कृष्ट सोवियत गणितज्ञ वी.एम. ब्रैडिस के नाम पर एक विशेष तालिका में देखा जा सकता है।
और अब दूसरे फ़ार्मुलों पर चलते हैं,केवल असाधारण प्रकार के त्रिभुजों के लिए उपयुक्त।
एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल
सार्वभौम सूत्र के अलावा, जिसमें एक त्रिभुज में ऊँचाई खींचने की आवश्यकता शामिल है, एक समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों से ज्ञात किया जा सकता है।
इस प्रकार, समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के गुणनफल का आधा होता है, या:
एस=½एबी, जहाँ a और b एक समकोण त्रिभुज की टाँगें हैं।
नियमित त्रिभुज
इस प्रकार की ज्यामितीय आकृतियाँ इस मायने में भिन्न होती हैं कि इसका क्षेत्रफल इसकी केवल एक भुजा के निर्दिष्ट मान के साथ पाया जा सकता है (क्योंकि एक नियमित त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं)। इसलिए, "भुजाओं के बराबर होने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें" के कार्य को पूरा करने के बाद, आपको निम्न सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
एस=ए2√3 / 4, जहाँ A एक समबाहु त्रिभुज की भुजा है।
हेरॉन का फॉर्मूला
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का अंतिम विकल्प हीरोन का सूत्र है। इसका उपयोग करने के लिए, आपको आकृति के तीनों पक्षों की लंबाई जानने की आवश्यकता है। बगुला का सूत्र इस तरह दिखता है:
एस=√p (पी - ए) (पी - बी) (पी - सी), जहाँ a, b और c इस त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
कभी-कभी दिया गया कार्य: "एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल - इसकी भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।" इस मामले में, आपको एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए पहले से ज्ञात सूत्र का उपयोग करना होगा और इससे भुजा (या उसके वर्ग) का मान निकालना होगा:
ए2=4एस / √3.
परीक्षा की समस्या
जीआईए कार्यों मेंगणित में कई सूत्र हैं। इसके अलावा, चेकर पेपर पर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना अक्सर आवश्यक होता है।
इस मामले में, आकृति के किसी एक तरफ की ऊंचाई खींचना, कोशिकाओं द्वारा इसकी लंबाई निर्धारित करना और क्षेत्र खोजने के लिए सार्वभौमिक सूत्र का उपयोग करना सबसे सुविधाजनक है:
एस=½एएच.
इसलिए, लेख में प्रस्तुत सूत्रों का अध्ययन करने के बाद, आपको किसी भी प्रकार के त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में कोई समस्या नहीं होगी।
