संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक विशेष शाखा है, जिसका अध्ययन केवल उच्च शिक्षण संस्थानों के छात्र ही करते हैं। क्या आपको गणना और सूत्र पसंद हैं? क्या आप सामान्य वितरण, पहनावा की एन्ट्रापी, गणितीय अपेक्षा और असतत यादृच्छिक चर के विचरण के साथ परिचित होने की संभावनाओं से डरते नहीं हैं? तब यह विषय आपके लिए बहुत रुचिकर होगा। आइए विज्ञान के इस खंड की कुछ सबसे महत्वपूर्ण बुनियादी अवधारणाओं से परिचित हों।
मूल बातें याद करें
संभाव्यता सिद्धांत की सरलतम अवधारणाओं को याद करने पर भी, लेख के पहले पैराग्राफ की उपेक्षा न करें। तथ्य यह है कि बुनियादी बातों की स्पष्ट समझ के बिना, आप नीचे चर्चा किए गए सूत्रों के साथ काम नहीं कर पाएंगे।
तो, कुछ यादृच्छिक घटना है, कुछ प्रयोग है। किए गए कार्यों के परिणामस्वरूप, हम कई परिणाम प्राप्त कर सकते हैं - उनमें से कुछ अधिक सामान्य हैं, अन्य कम सामान्य हैं। किसी घटना की प्रायिकता एक प्रकार के वास्तव में प्राप्त परिणामों की संख्या और संभावित परिणामों की कुल संख्या का अनुपात है। केवल इस अवधारणा की शास्त्रीय परिभाषा को जानने के बाद, आप गणितीय अपेक्षा और निरंतर के विचरण का अध्ययन करना शुरू कर सकते हैंयादृच्छिक चर।
अंकगणित माध्य
स्कूल में भी, गणित के पाठों में, आपने अंकगणितीय माध्य के साथ काम करना शुरू कर दिया। इस अवधारणा का व्यापक रूप से संभाव्यता सिद्धांत में उपयोग किया जाता है, और इसलिए इसे अनदेखा नहीं किया जा सकता है। इस समय हमारे लिए मुख्य बात यह है कि हम गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर के विचरण के सूत्रों में इसका सामना करेंगे।
हमारे पास संख्याओं का एक क्रम है और हम अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना चाहते हैं। हमारे लिए जो कुछ भी आवश्यक है वह सब कुछ उपलब्ध है और अनुक्रम में तत्वों की संख्या से विभाजित करना है। मान लीजिए हमारे पास 1 से 9 तक की संख्याएँ हैं। तत्वों का योग 45 होगा, और हम इस मान को 9 से विभाजित करेंगे। उत्तर: - 5.
फैलाव
वैज्ञानिक रूप से कहें तो विचरण अंकगणित माध्य से प्राप्त फीचर मानों के विचलन का माध्य वर्ग है। एक को बड़े लैटिन अक्षर D से दर्शाया जाता है। इसकी गणना करने के लिए क्या आवश्यक है? अनुक्रम के प्रत्येक तत्व के लिए, हम उपलब्ध संख्या और अंकगणितीय माध्य के बीच अंतर की गणना करते हैं और इसे वर्ग करते हैं। जिस घटना पर हम विचार कर रहे हैं, उसके लिए उतने ही मूल्य होंगे जितने परिणाम हो सकते हैं। अगला, हम प्राप्त सभी चीजों को सारांशित करते हैं और अनुक्रम में तत्वों की संख्या से विभाजित करते हैं। यदि हमारे पास पाँच संभावित परिणाम हैं, तो पाँच से भाग दें।
फैलाव में ऐसे गुण भी होते हैं जिन्हें समस्याओं को हल करते समय इसे लागू करने के लिए आपको याद रखने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, यदि यादृच्छिक चर को X गुना बढ़ा दिया जाता है, तो विचरण वर्ग के X गुना बढ़ जाता है (अर्थात, XX)। यह कभी भी शून्य से कम नहीं होता है और यह निर्भर नहीं करता हैमूल्यों को एक समान मान से ऊपर या नीचे स्थानांतरित करना। साथ ही, स्वतंत्र परीक्षणों के लिए, योग का प्रसरण, प्रसरणों के योग के बराबर होता है।
अब हमें निश्चित रूप से असतत यादृच्छिक चर के विचरण और गणितीय अपेक्षा के उदाहरणों पर विचार करने की आवश्यकता है।
मान लीजिए हमने 21 प्रयोग किए और 7 अलग-अलग परिणाम प्राप्त किए। हमने उनमें से प्रत्येक को क्रमशः 1, 2, 2, 3, 4, 4 और 5 बार देखा। विचरण क्या होगा?
पहले, अंकगणित माध्य की गणना करते हैं: तत्वों का योग, निश्चित रूप से, 21 है। इसे 7 से विभाजित करें, 3 प्राप्त करें। अब मूल क्रम में प्रत्येक संख्या से 3 घटाएं, प्रत्येक मान को वर्ग करें, और जोड़ें परिणाम एक साथ। यह 12 निकला। अब हमारे लिए संख्या को तत्वों की संख्या से विभाजित करना बाकी है, और, ऐसा प्रतीत होता है, बस। लेकिन वहां एक जाल है! आइए इस पर चर्चा करें।
प्रयोगों की संख्या पर निर्भरता
यह पता चला है कि विचरण की गणना करते समय, हर दो संख्याओं में से एक हो सकता है: या तो N या N-1। यहां एन अनुक्रम में किए गए प्रयोगों की संख्या या तत्वों की संख्या है (जो वास्तव में वही है)। यह किस पर निर्भर करता है?
यदि परीक्षणों की संख्या सैकड़ों में मापी जाती है, तो हमें N को हर में रखना चाहिए। यदि इकाइयों में है, तो N-1। वैज्ञानिकों ने सीमा को काफी प्रतीकात्मक रूप से खींचने का फैसला किया: आज यह संख्या 30 के साथ चलती है। यदि हमने 30 से कम प्रयोग किए हैं, तो हम राशि को एन -1 से विभाजित करेंगे, और यदि अधिक है, तो एन द्वारा।
कार्य
विचरण और अपेक्षा की समस्या को हल करने के अपने उदाहरण पर वापस चलते हैं। हम12 की एक मध्यवर्ती संख्या प्राप्त हुई, जिसे N या N-1 से विभाजित किया जाना था। चूंकि हमने 21 प्रयोग किए, जो कि 30 से कम हैं, हम दूसरा विकल्प चुनेंगे। तो उत्तर है: विचरण 12/2=2 है।
उम्मीद
आइए दूसरी अवधारणा पर चलते हैं, जिस पर हमें इस लेख में विचार करना चाहिए। गणितीय अपेक्षा संगत संभावनाओं से गुणा किए गए सभी संभावित परिणामों को जोड़ने का परिणाम है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि परिणामी मूल्य, साथ ही विचरण की गणना का परिणाम, पूरे कार्य के लिए केवल एक बार प्राप्त होता है, चाहे वह कितने भी परिणाम मानता हो।
उम्मीद सूत्र काफी सरल है: हम एक परिणाम लेते हैं, इसे इसकी संभावना से गुणा करते हैं, दूसरे, तीसरे परिणाम के लिए इसे जोड़ते हैं, आदि। इस अवधारणा से संबंधित हर चीज की गणना करना आसान है। उदाहरण के लिए, गणितीय अपेक्षाओं का योग योग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है। काम के लिए भी यही सच है। संभाव्यता सिद्धांत में प्रत्येक मात्रा ऐसे सरल कार्यों को करने की अनुमति नहीं देती है। आइए एक कार्य लें और उन दो अवधारणाओं के मूल्य की गणना करें जिनका हमने एक साथ अध्ययन किया है। इसके अलावा, हम सिद्धांत से विचलित थे - यह अभ्यास करने का समय है।
एक और उदाहरण
हमने 50 परीक्षण चलाए और 10 प्रकार के परिणाम प्राप्त किए - 0 से 9 तक की संख्या - विभिन्न प्रतिशत में प्रदर्शित। ये क्रमशः हैं: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%। याद रखें कि संभावनाएं प्राप्त करने के लिए, आपको प्रतिशत मानों को 100 से विभाजित करने की आवश्यकता है। इस प्रकार, हमें 0.02 मिलता है; 0, 1, आदि। आइए हम एक यादृच्छिक के प्रसरण के लिए प्रतिनिधित्व करते हैंसमस्या को हल करने का मूल्य और गणितीय अपेक्षा उदाहरण।
प्राथमिक विद्यालय से याद किए गए सूत्र का उपयोग करके अंकगणितीय माध्य की गणना करें: 50/10=5.
अब प्रायिकताओं को परिणामों की संख्या में "टुकड़ों में" अनुवाद करते हैं ताकि गिनती को आसान बनाया जा सके। हमें 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 और 9 मिलते हैं। प्राप्त प्रत्येक मान से अंकगणितीय माध्य घटाएं, जिसके बाद हम प्राप्त परिणामों में से प्रत्येक का वर्ग करते हैं। उदाहरण के रूप में पहले तत्व का उपयोग करके इसे कैसे करें देखें: 1 - 5=(-4)। आगे: (-4)(-4)=16. अन्य मूल्यों के लिए, ये ऑपरेशन स्वयं करें। अगर आपने सब कुछ ठीक किया, तो सभी इंटरमीडिएट परिणाम जोड़ने के बाद आपको 90 मिलेंगे।
90 को N से विभाजित करके विचरण और माध्य की गणना करना जारी रखें। हम N को क्यों चुनते हैं और N-1 को नहीं? यह सही है, क्योंकि किए गए प्रयोगों की संख्या 30 से अधिक है। तो: 90/10=9। हमें फैलाव मिला। अगर आपको कोई दूसरा नंबर मिलता है, तो निराश न हों। सबसे अधिक संभावना है, आपने गणना में एक सामान्य त्रुटि की है। आपने जो लिखा है उसे दोबारा जांचें, और निश्चित रूप से सब कुछ ठीक हो जाएगा।
आखिरकार, उम्मीद के फार्मूले को याद करते हैं। हम सभी गणना नहीं देंगे, हम केवल वही उत्तर लिखेंगे जिसके साथ आप सभी आवश्यक प्रक्रियाओं को पूरा करने के बाद जांच कर सकते हैं। उम्मीद 5, 48 के बराबर होगी। हम केवल याद करते हैं कि पहले तत्वों के उदाहरण का उपयोग करके संचालन कैसे किया जाए: 00, 02 + 10, 1… और इसी तरह। जैसा कि आप देख सकते हैं, हम परिणाम के मूल्य को उसकी प्रायिकता से गुणा करते हैं।
विचलन
विचरण और अपेक्षित मूल्य से निकटता से संबंधित एक और अवधारणा हैमानक विचलन। इसे या तो लैटिन अक्षरों sd, या ग्रीक लोअरकेस "सिग्मा" द्वारा निरूपित किया जाता है। यह अवधारणा दिखाती है कि कैसे, औसतन, मूल्य केंद्रीय विशेषता से विचलित होते हैं। इसका मान ज्ञात करने के लिए, आपको प्रसरण के वर्गमूल की गणना करनी होगी।
यदि आप एक सामान्य वितरण का ग्राफ बनाते हैं और उस पर सीधे मानक विचलन का मान देखना चाहते हैं, तो यह कई चरणों में किया जा सकता है। छवि के आधे हिस्से को मोड (केंद्रीय मान) के बाईं या दाईं ओर ले जाएं, क्षैतिज अक्ष पर एक लंबवत खींचें ताकि परिणामी आंकड़ों के क्षेत्र समान हों। वितरण के मध्य और क्षैतिज अक्ष पर परिणामी प्रक्षेपण के बीच के खंड का मान मानक विचलन होगा।
सॉफ्टवेयर
जैसा कि आप सूत्रों के विवरण और प्रस्तुत उदाहरणों से देख सकते हैं, विचरण और गणितीय अपेक्षा की गणना अंकगणित की दृष्टि से सबसे आसान प्रक्रिया नहीं है। समय बर्बाद न करने के लिए, उच्च शिक्षा में उपयोग किए जाने वाले कार्यक्रम का उपयोग करना समझ में आता है - इसे "आर" कहा जाता है। इसमें ऐसे कार्य हैं जो आपको सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत से कई अवधारणाओं के लिए मूल्यों की गणना करने की अनुमति देते हैं।
उदाहरण के लिए, आप मानों के वेक्टर को परिभाषित करते हैं। यह निम्नानुसार किया जाता है: वेक्टर <-c(1, 5, 2…)। अब, जब आपको इस वेक्टर के लिए कुछ मानों की गणना करने की आवश्यकता होती है, तो आप एक फ़ंक्शन लिखते हैं और इसे एक तर्क के रूप में देते हैं। विचरण को खोजने के लिए, आपको var का उपयोग करना होगा। उसका एक उदाहरणउपयोग: var (वेक्टर)। फिर आप बस "एंटर" दबाएं और परिणाम प्राप्त करें।
निष्कर्ष में
विचरण और गणितीय अपेक्षा संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएं हैं, जिसके बिना भविष्य में कुछ भी गणना करना मुश्किल है। विश्वविद्यालयों में व्याख्यान के मुख्य पाठ्यक्रम में, उन्हें विषय के अध्ययन के पहले महीनों में ही माना जाता है। इन सरल अवधारणाओं की समझ की कमी और उनकी गणना करने में असमर्थता के कारण ही कई छात्र तुरंत कार्यक्रम में पिछड़ने लगते हैं और बाद में सत्र के अंत में खराब ग्रेड प्राप्त करते हैं, जो उन्हें छात्रवृत्ति से वंचित करता है।
दिन में कम से कम एक सप्ताह आधे घंटे का अभ्यास करें, इस लेख में प्रस्तुत समस्याओं के समान ही हल करें। फिर किसी भी संभाव्यता सिद्धांत परीक्षण पर आप बिना बाहरी युक्तियों और चीट शीट के उदाहरणों का सामना करेंगे।
