संभाव्यता के सिद्धांत का अध्ययन प्रायिकता के जोड़ और गुणा की समस्याओं को हल करने के साथ शुरू होता है। यह तुरंत ध्यान देने योग्य है कि ज्ञान के इस क्षेत्र में महारत हासिल करते समय, एक छात्र को एक समस्या का सामना करना पड़ सकता है: यदि भौतिक या रासायनिक प्रक्रियाओं को नेत्रहीन रूप से दर्शाया जा सकता है और अनुभवजन्य रूप से समझा जा सकता है, तो गणितीय अमूर्तता का स्तर बहुत अधिक है, और यहां समझ केवल साथ आती है अनुभव।
हालांकि, खेल मोमबत्ती के लायक है, क्योंकि सूत्र - दोनों इस लेख में विचार किए गए हैं और अधिक जटिल हैं - आज हर जगह उपयोग किए जाते हैं और काम में भी उपयोगी हो सकते हैं।
उत्पत्ति
अजीब तरह से, गणित के इस खंड के विकास के लिए प्रेरणा थी … जुआ। वास्तव में, पासा, सिक्का उछालना, पोकर, रूले विशिष्ट उदाहरण हैं जो संभाव्यताओं के योग और गुणन का उपयोग करते हैं। किसी भी पाठ्यपुस्तक में कार्यों के उदाहरण पर यह स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है। लोगों की दिलचस्पी यह जानने में थी कि उनके जीतने की संभावना कैसे बढ़ाई जाए, और मुझे कहना होगा, कुछ इसमें सफल हुए।
उदाहरण के लिए, पहले से ही 21वीं सदी में, एक व्यक्ति, जिसका नाम हम प्रकट नहीं करेंगे,सदियों से संचित इस ज्ञान का उपयोग कैसीनो को शाब्दिक रूप से "शुद्ध" करने के लिए किया, रूले में कई दसियों मिलियन डॉलर जीते।
हालांकि, विषय में बढ़ती रुचि के बावजूद, यह 20 वीं शताब्दी तक नहीं था कि एक सैद्धांतिक ढांचा विकसित किया गया जिसने "थॉरवर" को गणित का एक पूर्ण घटक बना दिया। आज, लगभग किसी भी विज्ञान में, आप संभाव्य विधियों का उपयोग करके गणना पा सकते हैं।
प्रयोज्यता
संभाव्यता के योग और गुणन के सूत्रों का उपयोग करते समय एक महत्वपूर्ण बिंदु, सशर्त संभाव्यता केंद्रीय सीमा प्रमेय की संतुष्टि है। अन्यथा, हालांकि यह छात्र द्वारा महसूस नहीं किया जा सकता है, सभी गणनाएं, चाहे वे कितनी भी प्रशंसनीय लगें, गलत होंगी।
हां, अत्यधिक प्रेरित शिक्षार्थी हर अवसर पर नए ज्ञान का उपयोग करने के लिए ललचाता है। लेकिन इस मामले में, थोड़ा धीमा होना चाहिए और प्रयोज्यता के दायरे को सख्ती से रेखांकित करना चाहिए।
संभाव्यता सिद्धांत यादृच्छिक घटनाओं से संबंधित है, जो अनुभवजन्य शब्दों में प्रयोगों के परिणाम हैं: हम एक छह-पक्षीय पासे को रोल कर सकते हैं, एक डेक से एक कार्ड बना सकते हैं, एक बैच में दोषपूर्ण भागों की संख्या की भविष्यवाणी कर सकते हैं। हालाँकि, कुछ प्रश्नों में गणित के इस खंड के सूत्रों का उपयोग करना स्पष्ट रूप से असंभव है। हम लेख के अंत में किसी घटना की प्रायिकताओं, घटनाओं के योग और गुणन के प्रमेयों पर विचार करने की विशेषताओं पर चर्चा करेंगे, लेकिन अभी के लिए आइए उदाहरणों की ओर मुड़ें।
बुनियादी अवधारणा
एक यादृच्छिक घटना का अर्थ है कुछ प्रक्रिया या परिणाम जो प्रकट हो सकता है या नहीं भी हो सकता हैप्रयोग के परिणामस्वरूप। उदाहरण के लिए, हम एक सैंडविच टॉस करते हैं - यह मक्खन ऊपर या मक्खन नीचे गिरा सकता है। दोनों में से कोई भी परिणाम यादृच्छिक होगा, और हम पहले से नहीं जानते कि उनमें से कौन सा होगा।
संभाव्यताओं के योग और गुणन का अध्ययन करते समय, हमें दो और अवधारणाओं की आवश्यकता होती है।
संयुक्त घटनाएँ वे घटनाएँ हैं, जिनमें से एक की घटना दूसरे की घटना को बाहर नहीं करती है। मान लीजिए कि दो लोग एक ही समय में एक निशाने पर गोली मारते हैं। यदि उनमें से एक सफल शॉट फायर करता है, तो यह दूसरे की हिट या मिस करने की क्षमता को प्रभावित नहीं करेगा।
असंगत ऐसी घटनाएँ होंगी, जिनका घटित होना एक साथ असंभव है। उदाहरण के लिए, केवल एक गेंद को बॉक्स से बाहर खींचकर, आप एक बार में नीला और लाल दोनों नहीं प्राप्त कर सकते हैं।
पदनाम
संभाव्यता की अवधारणा को लैटिन बड़े अक्षर P द्वारा दर्शाया गया है। कोष्ठक में अगला कुछ घटनाओं को दर्शाने वाले तर्क हैं।
जोड़ प्रमेय, सशर्त संभाव्यता, गुणन प्रमेय के सूत्रों में, आप कोष्ठक में व्यंजक देखेंगे, उदाहरण के लिए: A+B, AB या A|B. उनकी गणना विभिन्न तरीकों से की जाएगी, अब हम उनकी ओर रुख करेंगे।
जोड़
आइए उन मामलों पर विचार करें जहां जोड़ और गुणा सूत्रों का उपयोग किया जाता है।
असंगत घटनाओं के लिए, सबसे सरल जोड़ सूत्र प्रासंगिक है: किसी भी यादृच्छिक परिणाम की संभावना इन परिणामों में से प्रत्येक की संभावनाओं के योग के बराबर होगी।
मान लीजिए एक बॉक्स है जिसमें 2 नीले, 3 लाल और 5 पीले गुब्बारे हैं। बॉक्स में कुल 10 आइटम हैं। इस कथन की सत्यता का प्रतिशत कितना है कि हम एक नीली या लाल गेंद खींचेंगे? यह 2/10 + 3/10 के बराबर होगा, यानी पचास प्रतिशत।
असंगत घटनाओं के मामले में, सूत्र अधिक जटिल हो जाता है, क्योंकि एक अतिरिक्त शब्द जोड़ा जाता है। एक और सूत्र पर विचार करने के बाद, हम इस पर एक पैराग्राफ में लौटेंगे।
गुणा
स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकताओं का योग और गुणन विभिन्न मामलों में उपयोग किया जाता है। यदि, प्रयोग की स्थिति के अनुसार, हम दो संभावित परिणामों में से किसी एक से संतुष्ट हैं, तो हम योग की गणना करेंगे; यदि हम एक के बाद एक दो निश्चित परिणाम प्राप्त करना चाहते हैं, तो हम एक भिन्न सूत्र का उपयोग करेंगे।
पिछले भाग के उदाहरण पर लौटते हुए, हम पहले नीली गेंद और फिर लाल गेंद खींचना चाहते हैं। पहली संख्या जो हम जानते हैं वह 2/10 है। आगे क्या होता है? 9 गेंदें बाकी हैं, अभी भी उतनी ही लाल गेंदें हैं - तीन टुकड़े। गणना के अनुसार, आपको 3/9 या 1/3 मिलता है। लेकिन अब दो नंबरों का क्या करें? सही उत्तर 2/30 प्राप्त करने के लिए गुणा करना है।
संयुक्त कार्यक्रम
अब हम संयुक्त आयोजनों के योग सूत्र पर फिर से विचार कर सकते हैं। हम विषय से क्यों हट रहे हैं? यह जानने के लिए कि संभावनाओं को कैसे गुणा किया जाता है। अब यह ज्ञान काम आएगा।
हम पहले से ही जानते हैं कि पहले दो पद क्या होंगे (जैसा कि पहले माना गया जोड़ सूत्र में है), अब हमें घटाना होगासंभावनाओं का उत्पाद जिसे हमने अभी गणना करना सीखा है। स्पष्टता के लिए, हम सूत्र लिखते हैं: पी (ए + बी) u003d पी (ए) + पी (बी) - पी (एबी)। यह पता चला है कि प्रायिकताओं का योग और गुणन दोनों एक ही व्यंजक में उपयोग किया जाता है।
मान लें कि क्रेडिट पाने के लिए हमें दोनों में से किसी एक समस्या का समाधान करना होगा। हम पहले वाले को 0.3 की प्रायिकता के साथ हल कर सकते हैं, और दूसरा - 0.6। हल: 0.3 + 0.6 - 0.18=0.72। ध्यान दें कि यहाँ केवल संख्याओं का योग पर्याप्त नहीं होगा।
सशर्त संभावना
आखिरकार, सशर्त संभाव्यता की अवधारणा है, जिसके तर्कों को कोष्ठक में दर्शाया गया है और एक ऊर्ध्वाधर बार द्वारा अलग किया गया है। प्रविष्टि P(A|B) इस प्रकार है: "घटना A की दी गई घटना B की संभावना"।
आइए एक उदाहरण देखते हैं: एक दोस्त आपको कुछ डिवाइस देता है, चाहे वह फोन हो। इसे तोड़ा जा सकता है (20%) या अच्छा (80%)। आप किसी भी उपकरण की मरम्मत करने में सक्षम हैं जो 0.4 की संभावना के साथ आपके हाथ में आता है या आप इसे करने में सक्षम नहीं हैं (0.6)। अंत में, यदि उपकरण कार्य क्रम में है, तो आप 0.7 की संभावना के साथ सही व्यक्ति तक पहुंच सकते हैं।
यह देखना आसान है कि इस मामले में सशर्त संभाव्यता कैसे काम करती है: यदि फोन टूट गया है, तो आप किसी व्यक्ति तक नहीं पहुंच सकते हैं, और यदि यह अच्छा है, तो आपको इसे ठीक करने की आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार, "द्वितीय स्तर" पर कोई भी परिणाम प्राप्त करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि पहले वाले पर कौन सा ईवेंट निष्पादित किया गया था।
गणना
आइए पिछले पैराग्राफ के डेटा का उपयोग करके, प्रायिकताओं के जोड़ और गुणा पर समस्याओं को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।
पहले, आइए इसकी प्रायिकता ज्ञात करें कि आपआपको दिए गए उपकरण की मरम्मत करें। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, यह दोषपूर्ण होना चाहिए, और दूसरी बात, आपको मरम्मत का सामना करना होगा। यह एक सामान्य गुणन समस्या है: हमें 0.20.4=0.08 मिलता है।
क्या संभावना है कि आप तुरंत सही व्यक्ति तक पहुंच जाएंगे? आसान से आसान: 0.80.7=0.56. इस मामले में, आपने पाया कि फोन काम कर रहा है और सफलतापूर्वक कॉल किया।
आखिरकार, इस परिदृश्य पर विचार करें: आपको एक टूटा हुआ फोन मिला, उसे ठीक किया, फिर नंबर डायल किया, और विपरीत छोर पर मौजूद व्यक्ति ने फोन का जवाब दिया। यहां, तीन घटकों का गुणन पहले से ही आवश्यक है: 0, 20, 40, 7=0, 056।
और क्या होगा अगर आपके पास एक साथ दो नॉन-वर्किंग फोन हों? आप उनमें से कम से कम एक को ठीक करने की कितनी संभावना रखते हैं? यह संभावनाओं के जोड़ और गुणा की समस्या है, क्योंकि संयुक्त घटनाओं का उपयोग किया जाता है। हल: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64।
सावधानीपूर्वक उपयोग करें
जैसा कि लेख की शुरुआत में उल्लेख किया गया है, संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग जानबूझकर और सचेत होना चाहिए।
प्रयोगों की श्रृंखला जितनी बड़ी होगी, सैद्धांतिक रूप से अनुमानित मूल्य उतना ही करीब होगा। उदाहरण के लिए, हम एक सिक्का उछाल रहे हैं। सैद्धांतिक रूप से, प्रायिकताओं के योग और गुणन के सूत्रों के अस्तित्व के बारे में जानकर, हम यह अनुमान लगा सकते हैं कि यदि हम 10 बार प्रयोग करते हैं तो कितनी बार हेड और टेल गिरेंगे। हमने एक प्रयोग किया औरसंयोग से, गिराए गए पक्षों का अनुपात 3 से 7 था। लेकिन यदि आप 100, 1000 या अधिक प्रयासों की एक श्रृंखला आयोजित करते हैं, तो यह पता चलता है कि वितरण ग्राफ सैद्धांतिक एक के करीब और करीब आ रहा है: 44 से 56, 482 से 518 और इसी तरह।
अब कल्पना कीजिए कि यह प्रयोग एक सिक्के से नहीं, बल्कि कुछ नए रासायनिक पदार्थ के उत्पादन के साथ किया जाता है, जिसकी संभावना हमें नहीं पता होती है। हम 10 प्रयोग चलाएंगे और, यदि हमें एक सफल परिणाम नहीं मिला, तो हम सामान्यीकरण कर सकते हैं: "पदार्थ प्राप्त नहीं किया जा सकता है।" लेकिन कौन जाने, अगर हमने ग्यारहवां प्रयास किया होता, तो हम लक्ष्य तक पहुँच पाते या नहीं?
इसलिए यदि आप अज्ञात, बेरोज़गार दायरे में जा रहे हैं, तो संभाव्यता का सिद्धांत लागू नहीं हो सकता है। इस मामले में प्रत्येक बाद का प्रयास सफल हो सकता है और "एक्स मौजूद नहीं है" या "एक्स असंभव है" जैसे सामान्यीकरण समय से पहले होंगे।
समापन शब्द
इसलिए हमने दो प्रकार के जोड़, गुणा और सशर्त संभावनाओं को देखा है। इस क्षेत्र के आगे के अध्ययन के साथ, प्रत्येक विशिष्ट सूत्र का उपयोग किए जाने पर स्थितियों में अंतर करना सीखना आवश्यक है। इसके अलावा, आपको यह समझने की जरूरत है कि क्या आपकी समस्या को हल करने के लिए संभाव्य तरीके आम तौर पर लागू होते हैं।
यदि आप अभ्यास करते हैं, तो थोड़ी देर बाद आप सभी आवश्यक कार्यों को विशेष रूप से अपने दिमाग में करना शुरू कर देंगे। ताश के खेल के शौकीन लोगों के लिए इस कौशल पर विचार किया जा सकता हैअत्यंत मूल्यवान - आप किसी विशेष कार्ड या सूट के गिरने की संभावना की गणना करके, जीतने की संभावना को काफी बढ़ा देंगे। हालांकि, अर्जित ज्ञान को गतिविधि के अन्य क्षेत्रों में आसानी से लागू किया जा सकता है।
