ज्यामितीय और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए स्थानिक आंकड़ों की मात्रा निर्धारित करने की क्षमता महत्वपूर्ण है। इन आंकड़ों में से एक प्रिज्म है। हम लेख में विचार करेंगे कि यह क्या है और यह दिखाएगा कि एक झुके हुए प्रिज्म के आयतन की गणना कैसे की जाती है।
ज्यामिति में प्रिज्म का क्या अर्थ है?
यह एक नियमित पॉलीहेड्रॉन (पॉलीहेड्रॉन) है, जो समानांतर विमानों में स्थित दो समान आधारों और चिह्नित आधारों को जोड़ने वाले कई समांतर चतुर्भुज से बनता है।
प्रिज्म आधार मनमाने बहुभुज हो सकते हैं, जैसे त्रिभुज, चतुर्भुज, सप्तभुज, इत्यादि। इसके अलावा, बहुभुज के कोनों (भुजाओं) की संख्या आकृति के नाम को निर्धारित करती है।
एन-गॉन बेस वाला कोई भी प्रिज्म (n भुजाओं की संख्या है) में n+2 फलक, 2 × n शीर्ष और 3 × n किनारे होते हैं। दी गई संख्याओं से यह देखा जा सकता है कि प्रिज्म के तत्वों की संख्या यूलर के प्रमेय के अनुरूप है:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
नीचे दी गई तस्वीर से पता चलता है कि कांच से बने त्रिकोणीय और चतुर्भुज प्रिज्म कैसा दिखते हैं।
आकृति के प्रकार। झुका हुआ प्रिज्म
ऊपर कहा जा चुका है कि एक प्रिज्म का नाम आधार पर बहुभुज की भुजाओं की संख्या से निर्धारित होता है। हालांकि, इसकी संरचना में अन्य विशेषताएं हैं जो आकृति के गुणों को निर्धारित करती हैं। इसलिए, यदि प्रिज्म की पार्श्व सतह बनाने वाले सभी समांतर चतुर्भुज आयतों या वर्गों द्वारा दर्शाए जाते हैं, तो ऐसी आकृति को एक सीधी रेखा कहा जाता है। एक सीधे प्रिज्म के लिए, आधारों के बीच की दूरी किसी भी आयत के किनारे के किनारे की लंबाई के बराबर होती है।
यदि कुछ या सभी भुजाएँ समांतर चतुर्भुज हैं, तो हम एक झुके हुए प्रिज्म की बात कर रहे हैं। इसकी ऊंचाई पहले से ही साइड रिब की लंबाई से कम होगी।
एक अन्य मानदंड जिसके द्वारा विचाराधीन आंकड़ों को वर्गीकृत किया जाता है, वह है आधार पर बहुभुज की भुजाओं की लंबाई और कोण। यदि वे एक दूसरे के बराबर हैं, तो बहुभुज सही होगा। आधारों पर एक नियमित बहुभुज के साथ एक सीधी आकृति को नियमित कहा जाता है। सतह क्षेत्र और आयतन का निर्धारण करते समय इसके साथ काम करना सुविधाजनक होता है। इस संबंध में एक झुका हुआ प्रिज्म कुछ कठिनाइयों को प्रस्तुत करता है।
नीचे दिए गए चित्र में वर्गाकार आधार वाले दो प्रिज्म दिखाए गए हैं। 90° का कोण एक सीधे और एक तिरछे प्रिज्म के बीच मूलभूत अंतर को दर्शाता है।
आकृति का आयतन निर्धारित करने का सूत्र
किसी प्रिज्म के फलकों से घिरे अंतरिक्ष के भाग को उसका आयतन कहते हैं। किसी भी प्रकार के माने गए आंकड़ों के लिए, यह मान निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:
वी=एच × एसओ
यहाँ, चिन्ह h प्रिज्म की ऊँचाई को दर्शाता है,जो दो आधारों के बीच की दूरी का माप है। प्रतीक So- एक आधार वर्ग।
आधार क्षेत्र खोजना आसान है। इस तथ्य को देखते हुए कि बहुभुज नियमित है या नहीं, और इसकी भुजाओं की संख्या जानने के बाद, आपको उपयुक्त सूत्र लागू करना चाहिए और So प्राप्त करना चाहिए। उदाहरण के लिए, एक नियमित n-gon के लिए जिसकी भुजा की लंबाई a है, उसका क्षेत्रफल होगा:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
अब ऊंचाई h पर चलते हैं। एक सीधे प्रिज्म के लिए, ऊंचाई निर्धारित करना मुश्किल नहीं है, लेकिन एक तिरछे प्रिज्म के लिए यह आसान काम नहीं है। इसे विशिष्ट प्रारंभिक स्थितियों से शुरू करके विभिन्न ज्यामितीय विधियों द्वारा हल किया जा सकता है। हालांकि, एक आकृति की ऊंचाई निर्धारित करने का एक सार्वभौमिक तरीका है। आइए इसका संक्षेप में वर्णन करें।
विचार अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी ज्ञात करना है। मान लें कि समतल समीकरण द्वारा दिया गया है:
ए × एक्स+ बी × वाई + सी × जेड + डी=0
तब हवाई जहाज कुछ दूरी पर होगा:
एच=|ए × एक्स1 + बी × वाई1+ सी × जेड1 +डी| / (ए2 + बी2+ सी2)
यदि निर्देशांक अक्षों को इस प्रकार व्यवस्थित किया जाए कि बिंदु (0; 0; 0) प्रिज्म के निचले आधार के तल में स्थित हो, तो आधार तल के लिए समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:
जेड=0
इसका मतलब है कि ऊंचाई का सूत्र लिखा जाएगातो:
एच=जेड1
आकृति की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए ऊपरी आधार के किसी भी बिंदु का z-निर्देशांक ज्ञात करना पर्याप्त है।
समस्या समाधान का उदाहरण
नीचे दिए गए चित्र में एक चतुर्भुज प्रिज्म दिखाया गया है। एक झुके हुए प्रिज्म का आधार 10 सेमी की भुजा वाला एक वर्ग है। इसकी मात्रा की गणना करना आवश्यक है यदि यह ज्ञात हो कि पार्श्व किनारे की लंबाई 15 सेमी है, और ललाट समांतर चतुर्भुज का तीव्र कोण 70 ° है।
चूंकि आकृति की ऊँचाई h समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई भी है, हम h ज्ञात करने के लिए इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं। आइए समांतर चतुर्भुज की भुजाओं को इस प्रकार निरूपित करें:
ए=10 सेमी;
बी=15सेमी
फिर आप क्षेत्र Sp:
निर्धारित करने के लिए इसके लिए निम्नलिखित सूत्र लिख सकते हैं
Sp=a × b × sin (α);
एसपी=ए × एच
जहां से हमें मिलता है:
एच=बी × पाप (α)
यहाँ α समांतर चतुर्भुज का न्यून कोण है। चूंकि आधार एक वर्ग है, एक झुके हुए प्रिज्म के आयतन का सूत्र रूप लेगा:
V=a2 × b × पाप (α)
हम स्थिति से डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं: वी ≈ 1410 सेमी3।
