वॉल्यूम किसी भी आकृति की विशेषता है जिसमें अंतरिक्ष के तीनों आयामों में गैर-शून्य आयाम होते हैं। इस लेख में, स्टीरियोमेट्री (स्थानिक आकृतियों की ज्यामिति) के दृष्टिकोण से, हम एक प्रिज्म पर विचार करेंगे और दिखाएंगे कि विभिन्न प्रकार के प्रिज्मों के आयतन कैसे ज्ञात करें।
प्रिज्म क्या है?
स्टीरियोमेट्री के पास इस सवाल का सटीक जवाब है। इसमें एक प्रिज्म को दो समरूप बहुभुज फलकों और कई समांतर चतुर्भुजों द्वारा बनाई गई आकृति के रूप में समझा जाता है। नीचे दी गई तस्वीर चार अलग-अलग प्रिज्म दिखाती है।
उनमें से प्रत्येक को निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है: आपको एक बहुभुज (त्रिकोण, चतुर्भुज, और इसी तरह) और एक निश्चित लंबाई का एक खंड लेने की आवश्यकता है। फिर बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष को समानांतर खंडों का उपयोग करके दूसरे तल पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए। नए तल में, जो मूल बहुभुज के समानांतर होगा, एक नया बहुभुज प्राप्त होगा, जो प्रारंभ में चुने गए बहुभुज के समान होगा।
प्रिज्म विभिन्न प्रकार के हो सकते हैं। तो, वे सीधे, तिरछे और सही हो सकते हैं। यदि प्रिज्म का पार्श्व किनारा (खंड,आधारों के शीर्षों को जोड़ना) आकृति के आधारों के लंबवत है, तो बाद वाला एक सीधी रेखा है। तदनुसार, यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो हम एक झुके हुए प्रिज्म के बारे में बात कर रहे हैं। एक नियमित आकृति एक समकोणीय और समबाहु आधार के साथ एक सही प्रिज्म है।
बाद में लेख में हम दिखाएंगे कि इन प्रकार के प्रिज्मों में से प्रत्येक के आयतन की गणना कैसे की जाती है।
नियमित प्रिज्म का आयतन
आइए सबसे सरल मामले से शुरू करते हैं। हम एक n-गोनल बेस के साथ एक नियमित प्रिज्म के आयतन का सूत्र देते हैं। विचाराधीन वर्ग के किसी भी अंक के लिए आयतन सूत्र V इस प्रकार है:
वी=एसओएच.
अर्थात, आयतन निर्धारित करने के लिए, किसी एक आधार So के क्षेत्रफल की गणना करने और इसे आकृति की ऊँचाई h से गुणा करने के लिए पर्याप्त है।
एक नियमित प्रिज्म के मामले में, आइए इसके आधार के किनारे की लंबाई को अक्षर a से और ऊंचाई को, जो कि किनारे के किनारे की लंबाई के बराबर है, अक्षर h से निरूपित करें। यदि एन-गॉन का आधार सही है, तो इसके क्षेत्रफल की गणना करने का सबसे आसान तरीका निम्नलिखित सार्वभौमिक सूत्र का उपयोग करना है:
एस=n/4a2ctg(pi/n).
भुजाओं की संख्या n और एक भुजा की लंबाई के मान को समानता में प्रतिस्थापित करके, आप n-गोनल आधार के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। ध्यान दें कि यहां कोटेंगेंट फ़ंक्शन की गणना कोण pi/n के लिए की जाती है, जिसे रेडियन में व्यक्त किया जाता है।
एस के लिए लिखी गई समानता को देखते हुए, हम एक नियमित प्रिज्म के आयतन के लिए अंतिम सूत्र प्राप्त करते हैं:
V=n/4a2hctg(pi/n).
प्रत्येक विशिष्ट मामले के लिए, आप V के लिए संबंधित सूत्र लिख सकते हैं, लेकिन वे सभीलिखित सामान्य अभिव्यक्ति से विशिष्ट रूप से अनुसरण करें। उदाहरण के लिए, एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के लिए, जो सामान्य स्थिति में एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज है, हमें मिलता है:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 ज.
यदि हम इस व्यंजक में h=a लेते हैं, तो हमें घन के आयतन का सूत्र प्राप्त होता है।
प्रत्यक्ष प्रिज्म का आयतन
हम तुरंत ध्यान दें कि सीधे आंकड़ों के लिए मात्रा की गणना के लिए कोई सामान्य सूत्र नहीं है, जो नियमित प्रिज्म के लिए ऊपर दिया गया था। प्रश्न में मूल्य ज्ञात करते समय, मूल अभिव्यक्ति का उपयोग किया जाना चाहिए:
वी=एसओएच.
यहाँ h पार्श्व किनारे की लंबाई है, जैसा कि पिछले मामले में है। जहां तक आधार क्षेत्र So का संबंध है, यह कई प्रकार के मान ले सकता है। आयतन के सीधे प्रिज्म की गणना करने का कार्य उसके आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने तक कम हो जाता है।
So के मान की गणना आधार की विशेषताओं के आधार पर ही की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि यह एक त्रिभुज है, तो क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
So3=1/2aha।
यहाँ ha त्रिभुज का एपोथेम है, यानी इसकी ऊंचाई आधार तक कम है।
यदि आधार एक चतुर्भुज है, तो यह एक समलम्ब, एक समांतर चतुर्भुज, एक आयत या पूरी तरह से मनमाना प्रकार हो सकता है। इन सभी मामलों के लिए, आपको क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए उपयुक्त योजनामिति सूत्र का उपयोग करना चाहिए। उदाहरण के लिए, एक समलम्ब चतुर्भुज के लिए, यह सूत्र इस तरह दिखता है:
So4=1/2(a1+ a2)h ए.
जहां ha समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई है, a1 और a2 लंबाई हैं इसकी समानांतर भुजाओं की।
उच्च कोटि के बहुभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उन्हें साधारण आकृतियों (त्रिकोण, चतुर्भुज) में विभाजित करना चाहिए और बाद वाले के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात करना चाहिए।
झुका हुआ प्रिज्म वॉल्यूम
प्रिज्म के आयतन की गणना करने का यह सबसे कठिन मामला है। ऐसे आंकड़ों के लिए सामान्य सूत्र भी लागू होता है:
वी=एसओएच.
हालांकि, एक मनमाना प्रकार के बहुभुज का प्रतिनिधित्व करने वाले आधार के क्षेत्र को खोजने की जटिलता के लिए, आकृति की ऊंचाई निर्धारित करने की समस्या को जोड़ा जाता है। यह हमेशा झुके हुए प्रिज्म में किनारे के किनारे की लंबाई से कम होता है।
इस ऊंचाई को खोजने का सबसे आसान तरीका यह है कि आप आकृति के किसी भी कोण (फ्लैट या डायहेड्रल) को जानते हैं। यदि ऐसा कोण दिया गया है, तो इसका उपयोग प्रिज्म के अंदर एक समकोण त्रिभुज बनाने के लिए करना चाहिए, जिसमें एक भुजा के रूप में ऊँचाई h होगी और त्रिकोणमितीय कार्यों और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, मान h ज्ञात करें।
ज्यामितीय आयतन समस्या
एक त्रिकोणीय आधार के साथ एक नियमित प्रिज्म को देखते हुए, जिसकी ऊंचाई 14 सेमी और एक भुजा की लंबाई 5 सेमी है। त्रिकोणीय प्रिज्म का आयतन क्या है?
चूंकि हम सही आंकड़े के बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए हमें प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करने का अधिकार है। हमारे पास है:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151.55 सेमी3।
एक त्रिभुजाकार प्रिज्म एक काफी सममित आकृति होती है, जिसके रूप में अक्सर विभिन्न वास्तुशिल्प संरचनाएं बनाई जाती हैं। इस कांच के प्रिज्म का उपयोग प्रकाशिकी में किया जाता है।
