पिरामिड के डायहेड्रल कोण और उनकी गणना की विधि

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

किसी भी पिरामिड के विशिष्ट रैखिक पैरामीटर उसके आधार, ऊंचाई, किनारे के किनारों और एपोथेम के किनारों की लंबाई हैं। फिर भी, एक और विशेषता है जो विख्यात मापदंडों से जुड़ी है - यह डायहेड्रल कोण है। लेख में विचार करें कि यह क्या है और इसे कैसे खोजना है।

स्थानिक आकृति पिरामिड

हर छात्र को इस बात का अच्छा अंदाजा होता है कि "पिरामिड" शब्द सुनते ही क्या दांव पर लगा है। इसे ज्यामितीय रूप से निम्नानुसार बनाया जा सकता है: एक निश्चित बहुभुज का चयन करें, फिर अंतरिक्ष में एक बिंदु को ठीक करें और इसे बहुभुज के प्रत्येक कोने से जोड़ दें। परिणामी त्रि-आयामी आकृति एक मनमाना प्रकार का पिरामिड होगी। बहुभुज जो इसे बनाता है उसे आधार कहा जाता है, और जिस बिंदु से इसके सभी कोने जुड़े होते हैं वह आकृति का शीर्ष होता है। नीचे दिया गया चित्र योजनाबद्ध रूप से एक पंचकोणीय पिरामिड दिखाता है।

यह देखा जा सकता है कि इसकी सतह न केवल एक पंचभुज द्वारा बनाई गई है, बल्कि पांच त्रिकोणों से भी बनी है। सामान्य तौर पर, इन त्रिभुजों की संख्या संख्या के बराबर होगीएक बहुभुज आधार के किनारे।

आकृति के विकर्ण कोण

जब समतल पर ज्यामितीय समस्याओं पर विचार किया जाता है, तो कोई भी कोण दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं, या खंडों से बनता है। अंतरिक्ष में, दो समतलों के प्रतिच्छेदन से बनने वाले इन रैखिक कोणों में डायहेड्रल कोण जोड़े जाते हैं।

यदि अंतरिक्ष में कोण की चिह्नित परिभाषा को प्रश्न में आकृति पर लागू किया जाता है, तो हम कह सकते हैं कि दो प्रकार के डायहेड्रल कोण हैं:

• पिरामिड के आधार पर। यह आधार के तल और किसी भी पार्श्व फलक (त्रिकोण) से बनता है। इसका अर्थ है कि पिरामिड के आधार कोण n हैं, जहाँ n बहुभुज की भुजाओं की संख्या है।
• भुजाओं के बीच (त्रिकोण)। इन द्विफलकीय कोणों की संख्या भी n टुकड़े हैं।

ध्यान दें कि पहले प्रकार का माना कोण आधार के किनारों पर बनाया गया है, दूसरा प्रकार - किनारे के किनारों पर।

पिरामिड के कोणों की गणना कैसे करें?

एक द्वितल कोण का रैखिक कोण बाद वाले कोण का माप होता है। इसकी गणना करना आसान नहीं है, क्योंकि पिरामिड के फलक, प्रिज्म के फलकों के विपरीत, सामान्य स्थिति में समकोण पर प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। सामान्य रूप में समतल के समीकरणों का उपयोग करके डायहेड्रल कोणों के मूल्यों की गणना करना सबसे विश्वसनीय है।

त्रिविमीय समष्टि में एक तल निम्नलिखित व्यंजक द्वारा दिया जाता है:

Ax + By + Cz + D=0

जहां ए, बी, सी, डी कुछ वास्तविक संख्याएं हैं। इस समीकरण की सुविधा यह है कि पहली तीन चिह्नित संख्याएँ सदिश के निर्देशांक हैं,जो दिए गए तल पर लंबवत है, अर्थात:

n¯=[ए; बी; सी]

यदि समतल से संबंधित तीन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हों, तो इन बिंदुओं पर बने दो सदिशों के सदिश गुणनफल को लेकर कोई निर्देशांक n¯ प्राप्त कर सकता है। वेक्टर n¯ को विमान के लिए गाइड कहा जाता है।

परिभाषा के अनुसार, दो तलों के प्रतिच्छेदन से बनने वाला द्वितल कोण उनके दिशा सदिशों के बीच के रैखिक कोण के बराबर होता है। मान लीजिए हमारे पास दो विमान हैं जिनके सामान्य वैक्टर बराबर हैं:

₁¯=[ए₁; बी₁; सी₁];

₂¯=[ए₂; बी₂; सी₂]

उनके बीच कोण φ की गणना करने के लिए, आप अदिश उत्पाद गुण का उपयोग कर सकते हैं, फिर संबंधित सूत्र बन जाता है:

φ=आर्ककोस(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

या समन्वय रूप में:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ सी₁सी₂|/(√(ए₁ 2 ^{+ बी}12^+सी12 ^)√(ए22 ^{+ बी}22+ सी²₂))

आइए दिखाते हैं कि ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय डायहेड्रल कोणों की गणना के लिए उपरोक्त विधि का उपयोग कैसे करें।

नियमित चतुर्भुज पिरामिड के कोण

मान लें कि एक नियमित पिरामिड है, जिसके आधार पर 10 सेमी की भुजा वाला एक वर्ग है। आकृति की ऊंचाई है12 सेमी. यह गणना करना आवश्यक है कि पिरामिड के आधार पर और उसकी भुजाओं के लिए विकर्ण कोण क्या हैं।

चूंकि समस्या की स्थिति में दिया गया आंकड़ा सही है, यानी इसमें उच्च सममिति है, तो आधार पर सभी कोण एक दूसरे के बराबर हैं। भुजाओं के फलकों द्वारा बनाए गए कोण भी समान होते हैं। आवश्यक डायहेड्रल कोणों की गणना करने के लिए, हम आधार और दो साइड विमानों के लिए दिशा वैक्टर पाते हैं। आधार की भुजा की लंबाई को अक्षर a, और ऊँचाई h से निरूपित करें।

उपरोक्त तस्वीर एक चतुर्भुज नियमित पिरामिड दिखाती है। आइए दर्ज समन्वय प्रणाली के अनुसार अंक ए, बी, सी और डी के निर्देशांक लिखें:

ए(ए/2; -ए/2; 0);

बी(ए/2; ए/2; 0);

सी(-ए/2; ए/2; 0);

डी(0; 0; एच)

अब हम ऊपर दिए गए पैराग्राफ में वर्णित विधि के अनुसार आधार तलों ABC और दो भुजाओं ABD और BCD के लिए दिशा सदिश पाते हैं:

एबीसी के लिए:

AB¯=(0; ए; 0); एसी¯=(-ए; ए; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

एबीडी के लिए:

AB¯=(0; ए; 0); एडी¯=(-ए/2; ए/2; एच); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

बीसीडी के लिए:

बीसी¯=(-ए; 0; 0); बीडी¯=(-ए/2; -ए/2; एच); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

अब यह कोण φ के लिए उपयुक्त सूत्र लागू करने और समस्या कथन से पक्ष और ऊंचाई मानों को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है:

एबीसी और. के बीच का कोणएबीडी:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=ए²; |n₂¯|=ए√(एच² + ए²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2) /4)))=67, 38^ओ

एबीडी और बीडीसी के बीच का कोण:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=ए√(एच² + ए²/4); |n₃¯|=ए√(एच² + ए²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a) 2^{/4)))=81, 49}o

हमने उन कोणों के मूल्यों की गणना की जो समस्या की स्थिति से ज्ञात होने की आवश्यकता थी। समस्या को हल करने में प्राप्त सूत्रों का उपयोग a और h के किसी भी मान के साथ चतुर्भुज नियमित पिरामिड के डायहेड्रल कोणों को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

एक त्रिभुजाकार नियमित पिरामिड के कोण

नीचे दिए गए चित्र में एक पिरामिड दिखाया गया है जिसका आधार एक नियमित त्रिभुज है। यह ज्ञात है कि पक्षों के बीच का डायहेड्रल कोण सही है। आधार के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है यदि यह ज्ञात है कि आकृति की ऊंचाई 15 सेमी है।

90^o के बराबर एक डायहेड्रल कोण को आकृति में ABC के रूप में दर्शाया गया है। आप उपरोक्त विधि का उपयोग करके समस्या का समाधान कर सकते हैं, लेकिन इस मामले में हम इसे आसान कर देंगे। आइए त्रिभुज की भुजा को निरूपित करें a, आकृति की ऊँचाई - h, apothema - h_b और भुजापसली - ख. अब आप निम्नलिखित सूत्र लिख सकते हैं:

एस=1/2एएच_बी;

बी²=एच_बी²+ ए² /4;

बी²=एच² + ए²/3

चूंकि पिरामिड में दो भुजाओं के त्रिभुज समान हैं, भुजाएँ AB और CB बराबर हैं और त्रिभुज ABC की टाँगें हैं। आइए उनकी लंबाई को x से निरूपित करें, फिर:

x=ए/√2;

एस=1/2बीए/√2

भुजाओं के त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को बराबर करना और एपोथेम को संबंधित व्यंजक में प्रतिस्थापित करना, हमारे पास है:

1/2ah_b=1/2ba/√2=>

ज_बी=b/√2;

b²=b ²/2 + a²/4=>

बी=ए/√2;

a²/2=h² + a²/3=>

ए=एच√6

एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:

एस=√3/4a²=3√3/2h²

समस्या की स्थिति से ऊंचाई मान को प्रतिस्थापित करें, हमें उत्तर मिलता है: S=584, 567 सेमी²।