प्रिज्म माध्यमिक विद्यालयों में ठोस ज्यामिति के पाठ्यक्रम में अध्ययन की जाने वाली प्रसिद्ध आकृतियों में से एक है। इस वर्ग के आंकड़ों के लिए विभिन्न विशेषताओं की गणना करने में सक्षम होने के लिए, आपको यह जानना होगा कि किस प्रकार के प्रिज्म मौजूद हैं। आइए इस मुद्दे पर करीब से नज़र डालते हैं।
स्टीरियोमेट्री में प्रिज्म
सबसे पहले, आइए आंकड़ों के उल्लिखित वर्ग को परिभाषित करें। एक प्रिज्म कोई भी पॉलीहेड्रॉन होता है जिसमें दो समानांतर बहुभुज आधार होते हैं, जो समांतर चतुर्भुज द्वारा परस्पर जुड़े होते हैं।
आप इस आकृति को निम्न तरीके से प्राप्त कर सकते हैं: समतल पर एक मनमाना बहुभुज का चयन करें, और फिर इसे किसी भी सदिश की लंबाई तक ले जाएँ जो बहुभुज के मूल तल से संबंधित नहीं है। इस तरह के समानांतर आंदोलन के दौरान, बहुभुज के किनारे भविष्य के प्रिज्म के पार्श्व चेहरों का वर्णन करेंगे, और बहुभुज की अंतिम स्थिति आकृति का दूसरा आधार बन जाएगी। वर्णित तरीके से, एक मनमाना प्रकार का प्रिज्म प्राप्त किया जा सकता है। नीचे दिया गया चित्र एक त्रिभुजाकार प्रिज्म दिखाता है।
प्रिज्म कितने प्रकार के होते हैं?
यह आकृतियों के वर्गीकरण के बारे में हैप्रश्न में वर्ग। सामान्य स्थिति में, यह वर्गीकरण बहुभुज आधार की विशेषताओं और आकृति के पक्षों को ध्यान में रखते हुए किया जाता है। आमतौर पर, निम्नलिखित तीन प्रकार के प्रिज्म प्रतिष्ठित होते हैं:
- सीधे और तिरछा (तिरछा)।
- सही और गलत।
- उत्तल और अवतल।
किसी भी नामित प्रकार के वर्गीकरण के प्रिज्म में एक चतुर्भुज, पंचकोणीय,…, n-गोनल आधार हो सकता है। त्रिकोणीय प्रिज्म के प्रकारों के लिए, इसे केवल पहले दो बिंदुओं के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है। एक त्रिकोणीय प्रिज्म हमेशा उत्तल होता है।
नीचे, हम इनमें से प्रत्येक प्रकार के वर्गीकरण पर करीब से नज़र डालेंगे और प्रिज्म (सतह क्षेत्र, आयतन) के ज्यामितीय गुणों की गणना के लिए कुछ उपयोगी सूत्र देंगे।
सीधे और तिरछी आकृतियाँ
एक नज़र में सीधे प्रिज्म को तिरछे से अलग करना संभव है। यहाँ संबंधित आंकड़ा है।
यहां दो प्रिज्म दिखाए गए हैं (बाईं ओर हेक्सागोनल और दाईं ओर पंचकोणीय)। हर कोई विश्वास के साथ कहेगा कि षट्कोण सीधा है, और पंचकोण तिरछा है। कौन सी ज्यामितीय विशेषता इन प्रिज्मों को अलग करती है? बेशक, साइड फेस टाइप।
एक सीधा प्रिज्म, चाहे उसका आधार कुछ भी हो, सभी फलक आयताकार होते हैं। वे एक-दूसरे के बराबर हो सकते हैं, या वे भिन्न हो सकते हैं, केवल महत्वपूर्ण बात यह है कि वे आयताकार हैं, और आधारों के साथ उनके डायहेड्रल कोण 90o हैं।
तिरछी आकृति के बारे में यह कहा जाना चाहिए कि इसके सभी या कुछ पार्श्व फलक हैंसमांतर चतुर्भुज जो आधार के साथ अप्रत्यक्ष विकर्ण कोण बनाते हैं।
सभी प्रकार के सीधे प्रिज्मों के लिए, ऊँचाई किनारे के किनारे की लंबाई है, तिरछी आकृतियों के लिए, ऊँचाई हमेशा उनके किनारे के किनारों से कम होती है। किसी प्रिज्म के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना करते समय उसकी ऊँचाई जानना महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, वॉल्यूम सूत्र है:
वी=एसओएच
जहाँ h ऊँचाई है, So एक आधार का क्षेत्रफल है।
प्रिज्म सही और गलत
कोई भी प्रिज्म गलत है अगर वह सीधा नहीं है या उसका आधार सही नहीं है। सीधे और झुके हुए प्रिज्म के प्रश्न पर ऊपर चर्चा की गई थी। यहां हम विचार करते हैं कि अभिव्यक्ति "नियमित बहुभुज आधार" का क्या अर्थ है।
एक बहुभुज नियमित होता है यदि इसकी सभी भुजाएँ समान हों (आइए उनकी लंबाई को अक्षर a से निरूपित करें), और इसके सभी कोण भी समान हैं। नियमित बहुभुजों के उदाहरण एक समबाहु त्रिभुज, एक वर्ग, एक षट्भुज है जिसके छह कोने 120o इत्यादि हैं। किसी भी नियमित n-gon के क्षेत्रफल की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
एस=n/4a2ctg(pi/n)
नीचे त्रिकोणीय, वर्ग,…, अष्टकोणीय आधारों के साथ नियमित प्रिज्म का एक योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व है।
V के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके, हम नियमित आकृतियों के लिए संबंधित व्यंजक लिख सकते हैं:
V=n/4a2ctg(pi/n)h
जहां तक कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का प्रश्न है, नियमित प्रिज्म के लिए यह दो के क्षेत्रफल से बनता हैसमरूप आधार और n समरूप आयत जिसकी भुजाएँ h और a हैं। ये तथ्य हमें किसी भी नियमित प्रिज्म के सतह क्षेत्र के लिए एक सूत्र लिखने की अनुमति देते हैं:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nah
यहाँ पहला पद दो आधारों के क्षेत्रफल से मेल खाता है, दूसरा पद केवल पार्श्व सतह का क्षेत्रफल निर्धारित करता है।
सभी प्रकार के नियमित प्रिज्मों में से केवल चतुष्कोणीय प्रिज्म के अपने नाम होते हैं। तो, एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म, जिसमें a≠h, को आयताकार समानांतर चतुर्भुज कहा जाता है। यदि इस आकृति में a=h है, तो वे एक घन के बारे में बात करते हैं।
अवतल आकृतियाँ
अब तक हमने केवल उत्तल प्रकार के प्रिज्मों पर विचार किया है। यह उन पर है कि विचाराधीन आंकड़ों के वर्ग के अध्ययन में मुख्य ध्यान दिया जाता है। हालाँकि, अवतल प्रिज्म भी हैं। वे उत्तल से भिन्न होते हैं कि उनके आधार अवतल बहुभुज होते हैं, जो एक चतुर्भुज से शुरू होते हैं।
आकृति उदाहरण के तौर पर दो अवतल प्रिज्म दिखाती है, जो कागज के बने होते हैं। पाँच-नुकीले तारे के रूप में बायाँ एक दशकोणीय प्रिज्म है, छह-नुकीले तारे के रूप में दायाँ एक डोडेकोनाल अवतल सीधा प्रिज्म कहलाता है।
