ये ज्यामितीय आकृतियाँ हमें हर जगह घेर लेती हैं। उत्तल बहुभुज प्राकृतिक हो सकते हैं, जैसे मधुकोश, या कृत्रिम (मानव निर्मित)। इन आकृतियों का उपयोग विभिन्न प्रकार के कोटिंग्स के उत्पादन में, पेंटिंग, वास्तुकला, सजावट आदि में किया जाता है। उत्तल बहुभुजों में यह गुण होता है कि उनके सभी बिंदु एक सीधी रेखा के एक ही तरफ होते हैं जो इस ज्यामितीय आकृति के आसन्न शीर्षों के एक जोड़े से होकर गुजरती है। अन्य परिभाषाएँ भी हैं। एक बहुभुज को उत्तल कहा जाता है यदि यह किसी एक सीधी रेखा के संबंध में एक एकल अर्ध-तल में स्थित होता है जिसमें इसकी एक भुजा होती है।
उत्तल बहुभुज
प्राथमिक ज्यामिति के दौरान हमेशा साधारण बहुभुजों पर ही विचार किया जाता है। ऐसे के सभी गुणों को समझने के लिएज्यामितीय आकार, उनकी प्रकृति को समझना आवश्यक है। आरंभ करने के लिए, यह समझा जाना चाहिए कि किसी भी रेखा को बंद कहा जाता है, जिसके सिरे मेल खाते हैं। इसके अलावा, इसके द्वारा बनाई गई आकृति में कई प्रकार के विन्यास हो सकते हैं। बहुभुज एक साधारण बंद टूटी हुई रेखा है, जिसमें पड़ोसी लिंक एक ही सीधी रेखा पर स्थित नहीं होते हैं। इसके लिंक और कोने, क्रमशः, इस ज्यामितीय आकृति की भुजाएँ और शीर्ष हैं। एक साधारण पॉलीलाइन में स्व-चौराहे नहीं होना चाहिए।
बहुभुज के शीर्षों को आसन्न कहा जाता है यदि वे इसके किसी एक पक्ष के सिरों का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक ज्यामितीय आकृति जिसमें शीर्षों की nवीं संख्या होती है, और इसलिए भुजाओं की nवीं संख्या होती है, n-गॉन कहलाती है। टूटी हुई रेखा को ही इस ज्यामितीय आकृति की सीमा या समोच्च कहा जाता है। बहुभुज तल या समतल बहुभुज इससे घिरे किसी तल का अंतिम भाग कहलाता है। इस ज्यामितीय आकृति के आसन्न पक्षों को एक शीर्ष से निकलने वाली टूटी हुई रेखा के खंड कहा जाता है। यदि वे बहुभुज के विभिन्न शीर्षों से आते हैं तो वे आसन्न नहीं होंगे।
उत्तल बहुभुजों की अन्य परिभाषाएँ
प्राथमिक ज्यामिति में, कई और समान परिभाषाएँ हैं जो दर्शाती हैं कि किस बहुभुज को उत्तल कहा जाता है। ये सभी कथन समान रूप से सत्य हैं। एक बहुभुज को उत्तल माना जाता है यदि:
• इसके अंदर किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाला प्रत्येक खंड पूरी तरह से इसके भीतर स्थित है;
• इसके अंदरइसके सभी विकर्ण झूठ बोलते हैं;
• कोई भी आंतरिक कोण 180° से अधिक नहीं होना चाहिए।
बहुभुज हमेशा एक समतल को 2 भागों में विभाजित करता है। उनमें से एक सीमित है (इसे एक सर्कल में संलग्न किया जा सकता है), और दूसरा असीमित है। पहले को आंतरिक क्षेत्र कहा जाता है, और दूसरा इस ज्यामितीय आकृति का बाहरी क्षेत्र है। यह बहुभुज कई अर्ध-तलों का एक प्रतिच्छेदन (दूसरे शब्दों में, एक सामान्य घटक) है। इसके अलावा, प्रत्येक खंड जो बहुभुज से संबंधित बिंदुओं पर समाप्त होता है, पूरी तरह से उसी का होता है।
उत्तल बहुभुजों की किस्में
उत्तल बहुभुज की परिभाषा यह नहीं दर्शाती है कि ये कई प्रकार के होते हैं। और उनमें से प्रत्येक के कुछ मानदंड हैं। अतः उत्तल बहुभुज जिनका आंतरिक कोण 180° होता है, दुर्बल उत्तल कहलाते हैं। एक उत्तल ज्यामितीय आकृति जिसमें तीन शीर्ष होते हैं, त्रिभुज कहलाती है, चार - एक चतुर्भुज, पाँच - एक पंचभुज, आदि। प्रत्येक उत्तल n-gons निम्नलिखित आवश्यक आवश्यकता को पूरा करता है: n 3 के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए। प्रत्येक त्रिभुज उत्तल है। इस प्रकार की ज्यामितीय आकृति, जिसमें सभी शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं, वृत्त में अंकित कहलाती है। एक उत्तल बहुभुज परिवृत्ता कहा जाता है यदि वृत्त के पास की सभी भुजाएँ उसे स्पर्श करती हैं। दो बहुभुजों को तभी बराबर कहा जाता है जब उन्हें अध्यारोपण द्वारा अध्यारोपित किया जा सके। एक समतल बहुभुज को बहुभुज तल कहा जाता है।(विमान का भाग), जो इस ज्यामितीय आकृति द्वारा सीमित है।
नियमित उत्तल बहुभुज
नियमित बहुभुज समान कोणों और भुजाओं वाली ज्यामितीय आकृतियाँ हैं। उनके अंदर एक बिंदु 0 है, जो इसके प्रत्येक कोने से समान दूरी पर है। इसे इस ज्यामितीय आकृति का केंद्र कहा जाता है। केंद्र को इस ज्यामितीय आकृति के शीर्षों से जोड़ने वाले खंड एपोथेम्स कहलाते हैं, और जो बिंदु 0 को भुजाओं से जोड़ते हैं, त्रिज्या कहलाते हैं।
एक नियमित चतुर्भुज एक वर्ग होता है। एक समबाहु त्रिभुज को समबाहु त्रिभुज कहते हैं। ऐसी आकृतियों के लिए, निम्नलिखित नियम है: उत्तल बहुभुज का प्रत्येक कोना 180°(n-2)/n,
है।
जहाँ n इस उत्तल ज्यामितीय आकृति के शीर्षों की संख्या है।
किसी भी नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
एस=पीएच, जहाँ p दिए गए बहुभुज की सभी भुजाओं का आधा योग है और h एपोटेम की लंबाई है।
उत्तल बहुभुज के गुण
उत्तल बहुभुजों में कुछ गुण होते हैं। तो, ऐसी ज्यामितीय आकृति के किन्हीं 2 बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड आवश्यक रूप से उसमें स्थित होता है। सबूत:
मान लें कि P एक दिया गया उत्तल बहुभुज है। हम 2 मनमाना बिंदु लेते हैं, उदाहरण के लिए, ए, बी, जो पी से संबंधित हैं। उत्तल बहुभुज की मौजूदा परिभाषा के अनुसार, ये बिंदु रेखा के उसी तरफ स्थित होते हैं, जिसमें पी का कोई भी पक्ष होता है।इसलिए, AB के पास भी यह गुण है और वह P में समाहित है। एक उत्तल बहुभुज को हमेशा उसके एक शीर्ष से खींचे गए सभी विकर्णों द्वारा कई त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
उत्तल ज्यामितीय आकृतियों के कोण
एक उत्तल बहुभुज के कोने उसकी भुजाओं से बने कोने होते हैं। आंतरिक कोने किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति के आंतरिक क्षेत्र में स्थित होते हैं। इसकी भुजाओं से बनने वाला कोण जो एक शीर्ष पर अभिसरित होता है, उत्तल बहुभुज का कोण कहलाता है। किसी ज्यामितीय आकृति के आंतरिक कोणों से सटे कोण बाह्य कहलाते हैं। इसके अंदर स्थित उत्तल बहुभुज का प्रत्येक कोना है:
180° - x, जहाँ x बाहरी कोण का मान है। यह सरल सूत्र इस प्रकार के किसी भी ज्यामितीय आकार के लिए काम करता है।
सामान्य तौर पर, बाहरी कोनों के लिए निम्नलिखित नियम है: उत्तल बहुभुज का प्रत्येक कोण 180° के अंतर और आंतरिक कोण के मान के बराबर होता है। इसका मान -180° से 180° तक हो सकता है। अत: जब आंतरिक कोण 120° है, तो बाहरी कोण 60° होगा।
उत्तल बहुभुजों के कोणों का योग
एक उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
180°(n-2), जहाँ n, n-gon के शीर्षों की संख्या है।
उत्तल बहुभुज के कोणों के योग की गणना करना काफी आसान है। ऐसी किसी भी ज्यामितीय आकृति पर विचार कीजिए। उत्तल बहुभुज के अंदर के कोणों का योग निर्धारित करने के लिए, यह आवश्यक हैइसके एक शीर्ष को अन्य शीर्षों से जोडें। इस क्रिया के परिणामस्वरूप, (n-2) त्रिभुज प्राप्त होते हैं। हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180° होता है। चूँकि किसी भी बहुभुज में उनकी संख्या (n-2) होती है, ऐसी आकृति के अंतः कोणों का योग 180° x (n-2) होता है।
एक उत्तल बहुभुज के कोणों का योग, अर्थात् किन्हीं दो आंतरिक और आसन्न बाहरी कोण, किसी दिए गए उत्तल ज्यामितीय आकृति के लिए हमेशा 180° के बराबर होगा। इसके आधार पर आप इसके सभी कोणों का योग ज्ञात कर सकते हैं:
180 x एन.
आंतरिक कोणों का योग 180° (n-2) होता है। इसके आधार पर, इस आकृति के सभी बाहरी कोनों का योग सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
180°n-180°-(n-2)=360°.
किसी भी उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होगा (चाहे भुजाओं की संख्या कुछ भी हो)।
एक उत्तल बहुभुज के बाहरी कोण को आमतौर पर 180° के अंतर और आंतरिक कोण के मान द्वारा दर्शाया जाता है।
उत्तल बहुभुज के अन्य गुण
इन ज्यामितीय आकृतियों के मूल गुणों के अलावा, उनके पास अन्य हैं जो उनमें हेरफेर करते समय उत्पन्न होते हैं। तो, किसी भी बहुभुज को कई उत्तल n-gons में विभाजित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, इसके प्रत्येक पक्ष को जारी रखना और इन सीधी रेखाओं के साथ इस ज्यामितीय आकृति को काटना आवश्यक है। किसी भी बहुभुज को कई उत्तल भागों में इस प्रकार विभाजित करना भी संभव है कि प्रत्येक टुकड़े के शीर्ष उसके सभी शीर्षों के साथ मेल खाते हों। ऐसी ज्यामितीय आकृति से, सभी को खींचकर बहुत ही सरलता से त्रिभुज बनाए जा सकते हैंएक शीर्ष से विकर्ण। इस प्रकार, किसी भी बहुभुज को अंततः एक निश्चित संख्या में त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है, जो इस तरह की ज्यामितीय आकृतियों से जुड़ी विभिन्न समस्याओं को हल करने में बहुत उपयोगी साबित होता है।
उत्तल बहुभुज का परिमाप
एक टूटी हुई रेखा के खंड, जिन्हें बहुभुज की भुजाएँ कहा जाता है, को अक्सर निम्नलिखित अक्षरों से दर्शाया जाता है: ab, bc, cd, de, ea। ये एक ज्यामितीय आकृति की भुजाएँ हैं जिनके शीर्ष a, b, c, d, e हैं। इस उत्तल बहुभुज की सभी भुजाओं की लंबाई के योग को इसका परिमाप कहते हैं।
बहुभुज परिधि
उत्तल बहुभुजों को अंकित और परिबद्ध किया जा सकता है। एक वृत्त जो इस ज्यामितीय आकृति के सभी पक्षों को स्पर्श करता है, इसमें उत्कीर्ण कहलाता है। ऐसे बहुभुज को परिबद्ध कहा जाता है। एक वृत्त का केंद्र जो एक बहुभुज में खुदा हुआ है, किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति के सभी कोणों के द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु है। ऐसे बहुभुज का क्षेत्रफल है:
एस=पीआर, जहाँ r खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या है और p दिए गए बहुभुज का अर्धपरिधि है।
बहुभुज के शीर्षों वाले वृत्त को उसके चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है। इसके अलावा, इस उत्तल ज्यामितीय आकृति को खुदा हुआ कहा जाता है। वृत्त का केंद्र, जो ऐसे बहुभुज के चारों ओर परिबद्ध है, सभी पक्षों के तथाकथित लंब समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
उत्तल ज्यामितीय आकृतियों के विकर्ण
उत्तल बहुभुज के विकर्ण ऐसे खंड होते हैं जोगैर-आसन्न कोने कनेक्ट करें। उनमें से प्रत्येक इस ज्यामितीय आकृति के अंदर स्थित है। ऐसे एन-गॉन के विकर्णों की संख्या सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:
एन=एन (एन - 3)/ 2.
उत्तल बहुभुज के विकर्णों की संख्या प्राथमिक ज्यामिति में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। त्रिभुजों की संख्या (K) जिसमें प्रत्येक उत्तल बहुभुज को विभाजित करना संभव है, की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:
के=एन - 2.
एक उत्तल बहुभुज के विकर्णों की संख्या हमेशा उसके शीर्षों की संख्या पर निर्भर करती है।
उत्तल बहुभुज का अपघटन
कुछ मामलों में, ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए, एक उत्तल बहुभुज को गैर-अंतर्विभाजक विकर्णों वाले कई त्रिभुजों में विभाजित करना आवश्यक है। एक विशिष्ट सूत्र प्राप्त करके इस समस्या को हल किया जा सकता है।
समस्या की परिभाषा: आइए एक उत्तल एन-गॉन के एक उचित विभाजन को विकर्णों द्वारा कई त्रिभुजों में विभाजित करें जो केवल इस ज्यामितीय आकृति के शीर्षों पर प्रतिच्छेद करते हैं।
समाधान: मान लीजिए कि Р1, Р2, Р3…, Pn इस n-gon के शीर्ष हैं। संख्या Xn इसके विभाजनों की संख्या है। आइए हम ज्यामितीय आकृति Pi Pn के प्राप्त विकर्ण पर ध्यानपूर्वक विचार करें। किसी भी नियमित विभाजन में P1 Pn एक निश्चित त्रिभुज P1 Pi Pn से संबंधित है, जिसमें 1<i<n है। इससे आगे बढ़ते हुए और यह मानते हुए कि i=2, 3, 4 …, n-1, हमें इन विभाजनों के (n-2) समूह मिलते हैं, जिनमें सभी संभावित विशेष मामले शामिल होते हैं।
मान लें कि i=2 नियमित विभाजन का एक समूह है, जिसमें हमेशा विकर्ण Р2 Pn होता है। इसमें प्रवेश करने वाले विभाजनों की संख्या विभाजनों की संख्या के समान होती है(एन-1)-गॉन पी2 पी3 पी4… पीएन। दूसरे शब्दों में, यह Xn-1 के बराबर है।
अगर मैं=3, तो विभाजन के इस अन्य समूह में हमेशा विकर्ण Р3 Р1 और Р3 Pn होंगे। इस स्थिति में, इस समूह में शामिल नियमित विभाजनों की संख्या (n-2)-gon P3 P4 … Pn के विभाजनों की संख्या के साथ मेल खाएगी। दूसरे शब्दों में, यह Xn-2 के बराबर होगा।
चलो i=4, फिर त्रिभुजों के बीच एक नियमित विभाजन में निश्चित रूप से एक त्रिभुज P1 P4 Pn होगा, जिसमें चतुर्भुज P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn संलग्न होगा।. ऐसे चतुर्भुज के नियमित विभाजनों की संख्या X4 है, और एक (n-3)-गॉन के विभाजनों की संख्या Xn-3 है। पूर्वगामी के आधार पर, हम कह सकते हैं कि इस समूह में निहित सही विभाजनों की कुल संख्या Xn-3 X4 है। I=4, 5, 6, 7… वाले अन्य समूहों में Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … नियमित विभाजन होंगे।
चलो i=n-2, तो इस समूह में सही विभाजनों की संख्या समूह में विभाजन की संख्या के समान होगी जहां i=2 (दूसरे शब्दों में, Xn-1 के बराबर)।
चूंकि X1=X2=0, X3=1, X4=2…, तो उत्तल बहुभुज के सभी विभाजनों की संख्या है:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
उदाहरण:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
एक विकर्ण को अंदर से काटने वाले सही विभाजनों की संख्या
विशेष मामलों की जांच करते समय, कोई यहां पहुंच सकता हैयह धारणा कि उत्तल n-gons के विकर्णों की संख्या (n-3) द्वारा इस आकृति के सभी विभाजनों के गुणनफल के बराबर है।
इस धारणा का प्रमाण: कल्पना कीजिए कि P1n=Xn(n-3), तो किसी भी n-gon को (n-2)-त्रिकोण में विभाजित किया जा सकता है। इसके अलावा, एक (n-3)-चतुर्भुज की रचना की जा सकती है। इसके साथ ही प्रत्येक चतुर्भुज का एक विकर्ण होगा। चूँकि इस उत्तल ज्यामितीय आकृति में दो विकर्ण खींचे जा सकते हैं, इसका अर्थ है कि किसी भी (n-3)-चतुर्भुज में अतिरिक्त (n-3) विकर्ण खींचे जा सकते हैं। इसके आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी भी नियमित विभाजन में (n-3)-विकर्ण खींचना संभव है जो इस समस्या की शर्तों को पूरा करते हैं।
उत्तल बहुभुजों का क्षेत्रफल
अक्सर, प्राथमिक ज्यामिति की विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, उत्तल बहुभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करना आवश्यक हो जाता है। मान लें कि (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n एक ऐसे बहुभुज के सभी निकटवर्ती शीर्षों के निर्देशांकों का क्रम है जिनमें स्व-प्रतिच्छेदन नहीं है। इस मामले में, इसके क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + वाईमैं + 1)), कहां (X1, Y1)=(Xn +1, Yएन + 1).
