हेक्सागोनल प्रिज्म और इसकी मुख्य विशेषताएं

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

स्थानिक ज्यामिति प्रिज्म का अध्ययन है। उनकी महत्वपूर्ण विशेषताएं उनमें निहित मात्रा, सतह क्षेत्र और घटक तत्वों की संख्या हैं। लेख में, हम हेक्सागोनल प्रिज्म के लिए इन सभी गुणों पर विचार करेंगे।

हम किस प्रिज्म की बात कर रहे हैं?

एक हेक्सागोनल प्रिज्म छह पक्षों और छह कोणों के साथ दो बहुभुजों द्वारा बनाई गई एक आकृति है, और छह समांतर चतुर्भुज चिह्नित हेक्सागोन को एक ज्यामितीय गठन में जोड़ते हैं।

आकृति इस प्रिज्म का एक उदाहरण दिखाती है।

लाल रंग से चिह्नित षट्भुज आकृति का आधार कहलाता है। जाहिर है, इसके आधारों की संख्या दो के बराबर है, और दोनों समान हैं। प्रिज्म के पीले-हरे रंग के फलकों को इसकी भुजाएँ कहते हैं। आकृति में उन्हें वर्गों द्वारा दर्शाया गया है, लेकिन सामान्य तौर पर वे समांतर चतुर्भुज हैं।

षट्कोणीय प्रिज्म झुका और सीधा हो सकता है। पहले मामले में, आधार और पक्षों के बीच के कोण सीधे नहीं हैं, दूसरे में वे 90o के बराबर हैं। साथ ही, यह प्रिज्म सही और गलत हो सकता है। नियमित हेक्सागोनलप्रिज्म सीधा होना चाहिए और आधार पर एक नियमित षट्भुज होना चाहिए। आकृति में उपरोक्त प्रिज्म इन आवश्यकताओं को पूरा करता है, इसलिए इसे सही कहा जाता है। आगे लेख में हम एक सामान्य मामले के रूप में केवल इसके गुणों का अध्ययन करेंगे।

तत्व

किसी भी प्रिज्म के लिए उसके मुख्य तत्व किनारे, फलक और शीर्ष होते हैं। हेक्सागोनल प्रिज्म कोई अपवाद नहीं है। उपरोक्त आंकड़ा आपको इन तत्वों की संख्या गिनने की अनुमति देता है। तो, हमें 8 फलक या भुजाएँ (दो आधार और छह पार्श्व समांतर चतुर्भुज) प्राप्त होती हैं, शीर्षों की संख्या 12 है (प्रत्येक आधार के लिए 6 शीर्ष), एक षट्कोणीय प्रिज्म के किनारों की संख्या 18 है (आधारों के लिए छह पार्श्व और 12).

1750 के दशक में, लियोनहार्ड यूलर (एक स्विस गणितज्ञ) ने सभी पॉलीहेड्रा के लिए स्थापित किया, जिसमें एक प्रिज्म, संकेतित तत्वों की संख्या के बीच एक गणितीय संबंध शामिल है। यह रिश्ता इस तरह दिखता है:

किनारों की संख्या=फलकों की संख्या + शीर्षों की संख्या - 2.

उपरोक्त आंकड़े इस सूत्र को संतुष्ट करते हैं।

प्रिज्म के विकर्ण

एक षट्कोणीय प्रिज्म के सभी विकर्णों को दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है:

• वे जो उसके मुख के तल में पड़े हैं;
• वे जो आकृति के संपूर्ण आयतन से संबंधित हैं।

नीचे दिए गए चित्र में इन सभी विकर्णों को दिखाया गया है।

यह देखा जा सकता है कि D₁ भुजा का विकर्ण है, D₂ और D₃ हैं पूरे प्रिज्म के विकर्ण, D₄ और D_{5 - आधार के विकर्ण।}

भुजाओं के विकर्णों की लंबाई एक दूसरे के बराबर होती है।प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके उनकी गणना करना आसान है। मान लीजिए a षट्भुज की भुजा की लंबाई है, b भुजा के किनारे की लंबाई है। तब विकर्ण की लंबाई होती है:

डी₁=√(ए² + बी^2)।

विकर्ण डी₄ भी निर्धारित करना आसान है। यदि हमें याद है कि एक नियमित षट्भुज त्रिज्या a के साथ एक वृत्त में फिट बैठता है, तो D_{4 इस वृत्त का व्यास है, अर्थात हमें निम्न सूत्र प्राप्त होता है:}

डी_4=2ए.

विकर्ण D₅आधार ढूंढना थोड़ा कठिन है। ऐसा करने के लिए, एक समबाहु त्रिभुज ABC पर विचार करें (चित्र देखें)। उसके लिए AB=BC=a, कोण ABC 120^{o है। यदि हम इस कोण से ऊँचाई कम करें (यह समद्विभाजक और माध्यिका भी होगी), तो AC का आधा आधार बराबर होगा:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

एसी साइड डी_{5 का विकर्ण है, इसलिए हमें मिलता है:}

डी_{5=एसी=√3ए.}

अब एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के विकर्ण D₂और D_{3 ज्ञात करना बाकी है। ऐसा करने के लिए, आपको यह देखना होगा कि वे संगत समकोण त्रिभुजों के कर्ण हैं। पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:}

डी₂=(डी₄²+ बी^2)=√(4a2^{+ b}2^);

डी₃=√(डी₅²+ बी^2)=√(3a2^{+ b}2^)।

इस प्रकार, a और b के किसी भी मान के लिए सबसे बड़ा विकर्ण हैडी_2.

सतह क्षेत्र

यह समझने के लिए कि क्या दांव पर लगा है, इस प्रिज्म के विकास पर विचार करना सबसे आसान तरीका है। यह चित्र में दिखाया गया है।

यह देखा जा सकता है कि विचाराधीन आकृति के सभी पक्षों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, चतुर्भुज के क्षेत्रफल और षट्भुज के क्षेत्रफल की अलग-अलग गणना करना आवश्यक है, फिर उन्हें गुणा करें प्रिज्म में प्रत्येक n-gon की संख्या के बराबर संगत पूर्णांकों द्वारा, और परिणाम जोड़ें। षट्कोण 2, आयत 6.

एक आयत के क्षेत्रफल के लिए हम पाते हैं:

एस_1=एबी.

फिर पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:

एस_{2=6एबी.}

एक षट्भुज का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए, सबसे आसान तरीका संबंधित सूत्र का उपयोग करना है, जो इस तरह दिखता है:

एस=n/4a2ctg(pi/n).

इस व्यंजक में संख्या n को 6 के बराबर रखने पर हमें एक षट्भुज का क्षेत्रफल प्राप्त होता है:

एस₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

प्रिज्म के आधारों का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए इस व्यंजक को दो से गुणा किया जाना चाहिए:

एस_ओएस=3√3a^2.

आकृति का कुल सतह क्षेत्र प्राप्त करने के लिए S_os और S_{2 जोड़ना बाकी है:}

एस=एस_ओएस+ एस₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

प्रिज्म वॉल्यूम

सूत्र के बादएक हेक्सागोनल आधार का क्षेत्र, प्रश्न में प्रिज्म में निहित मात्रा की गणना करना नाशपाती के गोले जितना आसान है। ऐसा करने के लिए, आपको बस एक आधार (षट्भुज) के क्षेत्र को आकृति की ऊंचाई से गुणा करने की आवश्यकता है, जिसकी लंबाई किनारे के किनारे की लंबाई के बराबर है। हमें सूत्र मिलता है:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

ध्यान दें कि आधार और ऊंचाई का गुणनफल किसी भी प्रिज्म के आयतन का मान देता है, जिसमें तिरछा भी शामिल है। हालांकि, बाद के मामले में, ऊंचाई की गणना जटिल है, क्योंकि यह अब साइड रिब की लंबाई के बराबर नहीं होगी। एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के लिए, इसके आयतन का मान दो चरों का फलन होता है: भुजाएँ a और b।