स्टीरियोमेट्री ज्यामिति का एक खंड है जो उन आंकड़ों का अध्ययन करता है जो एक ही तल में नहीं होते हैं। स्टीरियोमेट्री के अध्ययन की वस्तुओं में से एक प्रिज्म है। लेख में हम एक ज्यामितीय दृष्टिकोण से एक प्रिज्म की परिभाषा देंगे, और उन गुणों को भी संक्षेप में सूचीबद्ध करेंगे जो इसकी विशेषता हैं।
ज्यामितीय आकृति
ज्यामिति में प्रिज्म की परिभाषा इस प्रकार है: यह एक स्थानिक आकृति है जिसमें दो समान n-gon होते हैं जो समानांतर विमानों में स्थित होते हैं, जो एक दूसरे से उनके शीर्षों से जुड़े होते हैं।
प्रिज्म पाना आसान है। कल्पना कीजिए कि दो समान n-gon हैं, जहाँ n भुजाओं या शीर्षों की संख्या है। आइए उन्हें रखें ताकि वे एक दूसरे के समानांतर हों। उसके बाद, एक बहुभुज के शीर्षों को दूसरे बहुभुज के संगत शीर्षों से जोड़ा जाना चाहिए। गठित आकृति में दो n-गोनल भुजाएँ होंगी, जिन्हें आधार कहा जाता है, और n चतुष्कोणीय भुजाएँ, जो सामान्य स्थिति में समांतर चतुर्भुज होती हैं। समांतर चतुर्भुजों का समूह आकृति की पार्श्व सतह बनाता है।
प्रश्न में आकृति को ज्यामितीय रूप से प्राप्त करने का एक और तरीका है। इसलिए, यदि हम एक एन-गॉन लेते हैं और समान लंबाई के समानांतर खंडों का उपयोग करके इसे दूसरे विमान में स्थानांतरित करते हैं, तो नए विमान में हमें मूल बहुभुज मिलता है। दोनों बहुभुज और उनके शीर्षों से खींचे गए सभी समानांतर खंड एक प्रिज्म बनाते हैं।
उपरोक्त तस्वीर एक त्रिकोणीय प्रिज्म दिखाती है। इसे ऐसा इसलिए कहा जाता है क्योंकि इसके आधार त्रिभुज हैं।
आकृति बनाने वाले तत्व
प्रिज्म की परिभाषा ऊपर दी गई थी, जिससे यह स्पष्ट होता है कि किसी आकृति के मुख्य तत्व उसके चेहरे या भुजाएं हैं, जो बाहरी अंतरिक्ष से प्रिज्म के सभी आंतरिक बिंदुओं को सीमित करते हैं। विचाराधीन आकृति का कोई भी चेहरा दो प्रकारों में से एक से संबंधित है:
- पक्ष;
- मैदान।
एन साइड पीस हैं, और वे समांतर चतुर्भुज या उनके विशेष प्रकार (आयत, वर्ग) हैं। सामान्य तौर पर, पार्श्व चेहरे एक दूसरे से भिन्न होते हैं। आधार के केवल दो फलक हैं, वे n-gon हैं और एक दूसरे के बराबर हैं। इस प्रकार, प्रत्येक प्रिज्म की n+2 भुजाएँ होती हैं।
भुजाओं के अलावा, आकृति को इसके शीर्षों की विशेषता है। वे बिंदु हैं जहां तीन चेहरे एक ही समय में स्पर्श करते हैं। इसके अलावा, तीन में से दो चेहरे हमेशा पार्श्व सतह से संबंधित होते हैं, और एक - आधार के लिए। इस प्रकार, एक प्रिज्म में कोई विशेष रूप से चयनित एक शीर्ष नहीं होता है, उदाहरण के लिए, एक पिरामिड में, वे सभी समान होते हैं। आकृति के शीर्षों की संख्या 2n है (प्रत्येक के लिए n टुकड़ेकारण)
आखिरकार, प्रिज्म का तीसरा महत्वपूर्ण तत्व उसके किनारे होते हैं। ये एक निश्चित लंबाई के खंड हैं, जो आकृति के पक्षों के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप बनते हैं। चेहरों की तरह किनारों के भी दो अलग-अलग प्रकार होते हैं:
- या केवल पक्षों द्वारा गठित;
- या समांतर चतुर्भुज के जंक्शन और एन-गोनल बेस के किनारे पर दिखाई देते हैं।
इस प्रकार किनारों की संख्या 3n है, और उनमें से 2n दूसरे प्रकार के हैं।
प्रिज्म प्रकार
प्रिज्म को वर्गीकृत करने के कई तरीके हैं। हालांकि, वे सभी आकृति की दो विशेषताओं पर आधारित हैं:
- एन-कोयला आधार के प्रकार पर;
- साइड टाइप पर।
सबसे पहले, दूसरी विशेषता की ओर मुड़ें और एक सीधा और तिरछा प्रिज्म परिभाषित करें। यदि कम से कम एक भुजा सामान्य प्रकार का समांतर चतुर्भुज हो, तो वह आकृति तिरछी या तिरछी कहलाती है। यदि सभी समांतर चतुर्भुज आयत या वर्ग हैं, तो प्रिज्म सीधा होगा।
सीधे प्रिज्म की परिभाषा को थोड़े अलग तरीके से भी दिया जा सकता है: एक सीधी आकृति एक ऐसा प्रिज्म है जिसके किनारे और फलक इसके आधारों के लंबवत होते हैं। आकृति दो चतुर्भुज आकृतियाँ दिखाती है। बायां सीधा है, दायां तिरछा है।
अब आधारों में पड़े n-gon के प्रकार के अनुसार वर्गीकरण पर चलते हैं। इसके समान पक्ष और कोण या भिन्न हो सकते हैं। पहले मामले में, बहुभुज को नियमित कहा जाता है। यदि विचाराधीन आकृति में बराबर वाला बहुभुज हैभुजा और कोण और एक सीधी रेखा है, तो इसे सही कहा जाता है। इस परिभाषा के अनुसार, इसके आधार पर एक नियमित प्रिज्म में एक समबाहु त्रिभुज, एक वर्ग, एक नियमित पंचभुज या एक षट्भुज आदि हो सकते हैं। सूचीबद्ध सही आंकड़े चित्र में दिखाए गए हैं।
प्रिज्म के रैखिक पैरामीटर
विचाराधीन आंकड़ों के आकार का वर्णन करने के लिए निम्नलिखित मापदंडों का उपयोग किया जाता है:
- ऊंचाई;
- आधार पक्ष;
- साइड रिब की लंबाई;
- 3डी विकर्ण;
- विकर्ण भुजाएँ और आधार।
नियमित प्रिज्म के लिए सभी नामित मात्राएँ एक दूसरे से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, पार्श्व पसलियों की लंबाई समान और ऊंचाई के बराबर होती है। एक विशिष्ट एन-गोनल नियमित आकृति के लिए, ऐसे सूत्र हैं जो आपको किन्हीं दो रैखिक मापदंडों द्वारा शेष सभी को निर्धारित करने की अनुमति देते हैं।
आकार की सतह
यदि हम किसी प्रिज्म की उपरोक्त परिभाषा को देखें, तो यह समझना कठिन नहीं होगा कि किसी आकृति की सतह क्या दर्शाती है। सतह सभी चेहरों का क्षेत्रफल है। एक सीधे प्रिज्म के लिए, इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
एस=2एसओ + पीओएच
जहाँ So आधार का क्षेत्रफल है, Po आधार पर n-gon की परिधि है, h ऊँचाई है (आधारों के बीच की दूरी) ।
आकृति का आयतन
अभ्यास के लिए सतह के साथ-साथ प्रिज्म का आयतन जानना जरूरी है। इसे निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:
वी=एसओएच
यहयह व्यंजक किसी भी प्रकार के प्रिज्म के लिए बिल्कुल सही है, इसमें वे भी शामिल हैं जो तिरछे होते हैं और अनियमित बहुभुजों से बनते हैं।
नियमित प्रिज्म के लिए, आयतन आधार के किनारे की लंबाई और आकृति की ऊंचाई का एक फलन है। संगत n-गोनल प्रिज्म के लिए, V के सूत्र का एक ठोस रूप है।
