गणित में, "सेट" की अवधारणा है, साथ ही इन समान सेटों की एक दूसरे के साथ तुलना करने के उदाहरण भी हैं। सेट की तुलना के प्रकारों के नाम निम्नलिखित शब्द हैं: आक्षेप, इंजेक्शन, प्रक्षेपण। उनमें से प्रत्येक को नीचे और अधिक विस्तार से वर्णित किया गया है।
आक्षेप है… यह क्या है?
पहले सेट के तत्वों का एक समूह दूसरे समूह के तत्वों के दूसरे समूह के साथ इस रूप में मेल खाता है: पहले समूह का प्रत्येक तत्व सीधे दूसरे समूह के एक तत्व से मेल खाता है, और वहां किसी भी या दो समूहों के सेट के तत्वों की कमी या गणना के साथ कोई स्थिति नहीं है।
मुख्य गुणों का निरूपण:
- एक से एक तत्व।
- मिलान करते समय कोई अतिरिक्त तत्व नहीं होते हैं और पहली संपत्ति संरक्षित होती है।
- सामान्य दृश्य बनाए रखते हुए मानचित्रण को उलटना संभव है।
- एक आक्षेप एक ऐसा कार्य है जो इंजेक्शन और विशेषण दोनों है।
वैज्ञानिक दृष्टिकोण से आपत्ति
विशेषण कार्य "कार्यों के सेट और सेट" श्रेणी में बिल्कुल समरूपता हैं। हालांकि, अधिक जटिल श्रेणियों के लिए पूर्वाग्रह हमेशा समरूपता नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, समूहों की एक निश्चित श्रेणी में, morphisms homomorphisms होना चाहिए, क्योंकि उन्हें समूह की संरचना को संरक्षित करना चाहिए। इसलिए, समरूपता समूह समरूपता हैं, जो विशेषण समरूपता हैं।
"एक-से-एक पत्राचार" की अवधारणा को आंशिक कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, जहां उन्हें आंशिक आक्षेप कहा जाता है, हालांकि एक आंशिक आक्षेप वह है जो एक इंजेक्शन होना चाहिए। इस छूट का कारण यह है कि इसके डोमेन के हिस्से के लिए आंशिक (उचित) फ़ंक्शन अब परिभाषित नहीं है। इस प्रकार, इसके व्युत्क्रम कार्य को पूर्ण रूप से सीमित करने का कोई अच्छा कारण नहीं है, अर्थात, इसके डोमेन में हर जगह परिभाषित किया गया है। किसी दिए गए आधार समुच्चय के सभी आंशिक विभाजनों के समुच्चय को सममित प्रतिलोम अर्धसमूह कहा जाता है।
एक ही अवधारणा को परिभाषित करने का एक और तरीका: यह कहने योग्य है कि ए से बी में सेट का आंशिक विभाजन किसी भी संबंध आर (आंशिक कार्य) है जो संपत्ति के साथ आर एक द्विभाजन ग्राफ है f:A'→B ' जहां A', A का उपसमुच्चय है और B', B का उपसमुच्चय है।
जब एक ही सेट पर आंशिक आक्षेप होता है, तो इसे कभी-कभी एक-से-एक आंशिक परिवर्तन कहा जाता है। एक उदाहरण मोबियस ट्रांसफॉर्म है जिसे जटिल विमान पर परिभाषित किया गया है, न कि विस्तारित जटिल विमान में इसका पूरा होना।
इंजेक्शन
पहले सेट के तत्वों का एक समूह दूसरे समूह के तत्वों के दूसरे समूह के साथ इस रूप में मेल खाता है: पहले समूह का प्रत्येक तत्व दूसरे के एक तत्व से मेल खाता है, लेकिन सभी नहीं उन्हें जोड़े में बदल दिया जाता है। अयुग्मित तत्वों की संख्या प्रत्येक सेट में इन तत्वों की संख्या में अंतर पर निर्भर करती है: यदि एक सेट में इकतीस तत्व होते हैं, और दूसरे में सात और होते हैं, तो अयुग्मित तत्वों की संख्या सात होती है। सेट में निर्देशित इंजेक्शन। आक्षेप और इंजेक्शन समान हैं, लेकिन समान से अधिक कुछ नहीं।
आक्षेप
पहले सेट के तत्वों का एक समूह दूसरे सेट के तत्वों के दूसरे समूह के साथ इस तरह से मेल खाता है: किसी भी समूह का प्रत्येक तत्व एक जोड़ी बनाता है, भले ही तत्वों की संख्या में अंतर हो। यह इस प्रकार है कि एक समूह का एक तत्व दूसरे समूह के कई तत्वों के साथ जुड़ सकता है।
न तो विशेषण, न इंजेक्शन, न ही विशेषण कार्य
यह विशेषण और विशेषण रूप का एक कार्य है, लेकिन शेष (अयुग्मित)=> इंजेक्शन के साथ। इस तरह के एक समारोह में, स्पष्ट रूप से आक्षेप और प्रक्षेपण के बीच एक संबंध है, क्योंकि इसमें सीधे इन दो प्रकार की सेट तुलनाएं शामिल हैं। तो, इन सभी प्रकार के कार्यों की समग्रता अलगाव में उनमें से एक नहीं है।
सभी प्रकार के कार्यों की व्याख्या
उदाहरण के लिए, प्रेक्षक निम्नलिखित पर मोहित हो जाता है। तीरंदाजी प्रतियोगिताएं हैं। की प्रत्येकप्रतिभागी लक्ष्य को हिट करना चाहते हैं (कार्य को सुविधाजनक बनाने के लिए: जहां तीर हिट को ध्यान में नहीं रखा जाता है)। केवल तीन प्रतिभागी और तीन लक्ष्य - यह टूर्नामेंट के लिए पहली साइट (साइट) है। बाद के वर्गों में, तीरंदाजों की संख्या संरक्षित है, लेकिन लक्ष्यों की संख्या बदल जाती है: दूसरे पर - चार लक्ष्य, अगले पर - चार भी, और चौथे पर - पांच। प्रत्येक प्रतिभागी प्रत्येक लक्ष्य पर गोली मारता है।
- टूर्नामेंट का पहला स्थान। पहला तीरंदाज केवल एक लक्ष्य को हिट करता है। दूसरा केवल एक लक्ष्य को हिट करता है। तीसरा एक दूसरे के बाद दोहराता है, और सभी तीरंदाजों ने अलग-अलग लक्ष्यों को मारा: जो उनके विपरीत हैं। नतीजतन, 1 (पहला तीरंदाज) ने लक्ष्य (ए), 2 - इन (बी), 3 - इन (सी) को मारा। निम्नलिखित निर्भरता देखी गई है: 1 - (ए), 2 - (बी), 3 - (सी)। निष्कर्ष यह होगा कि सेट की ऐसी तुलना एक आपत्ति है।
- टूर्नामेंट का दूसरा प्लेटफॉर्म। पहला तीरंदाज केवल एक लक्ष्य को हिट करता है। दूसरा भी केवल एक लक्ष्य को हिट करता है। तीसरा वास्तव में कोशिश नहीं करता है और दूसरों के बाद सब कुछ दोहराता है, लेकिन स्थिति वही है - सभी तीरंदाजों ने अलग-अलग लक्ष्यों को मारा। लेकिन, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, दूसरे प्लेटफॉर्म पर पहले से ही चार लक्ष्य हैं। निर्भरता: 1 - (ए), 2 - (बी), 3 - (सी), (डी) - सेट का अयुग्मित तत्व। इस मामले में, निष्कर्ष यह होगा कि इस तरह की एक सेट तुलना एक इंजेक्शन है।
- टूर्नामेंट का तीसरा स्थान। पहला तीरंदाज केवल एक लक्ष्य को हिट करता है। दूसरा फिर से केवल एक लक्ष्य को हिट करता है। तीसरा खुद को एक साथ खींचने का फैसला करता है और तीसरे और चौथे लक्ष्य को हिट करता है। नतीजतन, निर्भरता: 1 -(ए), 2 - (बी), 3 - (सी), 3 - (डी)। यहाँ, निष्कर्ष यह होगा कि समुच्चयों की ऐसी तुलना एक अनुमान है।
- टूर्नामेंट का चौथा मंच। पहले के साथ, सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है, वह केवल एक लक्ष्य को हिट करता है, जिसमें जल्द ही पहले से ही उबाऊ हिट के लिए कोई जगह नहीं होगी। अब दूसरा अभी भी हाल के तीसरे की भूमिका निभाता है और फिर से केवल एक लक्ष्य को हिट करता है, पहले के बाद दोहराता है। तीसरा अपने आप को नियंत्रित करना जारी रखता है और तीसरे और चौथे लक्ष्य के लिए अपने तीर का परिचय देना बंद नहीं करता है। हालाँकि, पाँचवाँ अभी भी उसके नियंत्रण से बाहर था। तो, निर्भरता: 1 - (ए), 2 - (बी), 3 - (सी), 3 - (डी), (ई) - लक्ष्य के सेट का अयुग्मित तत्व। निष्कर्ष: सेट की ऐसी तुलना कोई अनुमान नहीं है, एक इंजेक्शन नहीं है, और एक आक्षेप नहीं है।
अब आक्षेप, इंजेक्शन या प्रक्षेपण बनाने में कोई समस्या नहीं होगी, साथ ही उनके बीच अंतर खोजने में भी कोई दिक्कत नहीं होगी।
