दिशा वेक्टर प्रत्यक्ष: परिभाषा और उदाहरण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय वस्तु जिसका अध्ययन समतल स्थान में किया जाता है वह एक सीधी रेखा है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, सीधी रेखा के अलावा, एक विमान भी होता है। दिशा वैक्टर का उपयोग करके दोनों वस्तुओं को आसानी से परिभाषित किया जाता है। यह क्या है, एक सीधी रेखा और एक समतल के समीकरणों को निर्धारित करने के लिए इन सदिशों का उपयोग कैसे किया जाता है? ये और अन्य प्रश्न लेख में शामिल हैं।

डायरेक्ट लाइन और इसे कैसे परिभाषित करें

प्रत्येक छात्र को इस बात का अच्छा अंदाजा होता है कि वे किस ज्यामितीय वस्तु की बात कर रहे हैं। गणित के दृष्टिकोण से, एक सीधी रेखा बिंदुओं का एक समूह है, जो उनके मनमानी जोड़ीदार कनेक्शन के मामले में समानांतर वैक्टर के एक सेट की ओर ले जाती है। एक रेखा की इस परिभाषा का उपयोग इसके लिए दो और तीन आयामों में एक समीकरण लिखने के लिए किया जाता है।

माना गया एक-आयामी वस्तु का वर्णन करने के लिए, विभिन्न प्रकार के समीकरणों का उपयोग किया जाता है, जो नीचे दी गई सूची में सूचीबद्ध हैं:

• सामान्य दृश्य;
• पैरामीट्रिक;
• वेक्टर;
• विहित या सममित;
• खंडों में।

इनमें से प्रत्येक प्रजाति के दूसरों पर कुछ फायदे हैं। उदाहरण के लिए, निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष एक सीधी रेखा के व्यवहार का अध्ययन करते समय खंडों में एक समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, एक सामान्य समीकरण सुविधाजनक होता है जब किसी सीधी रेखा के लंबवत दिशा का पता लगाया जाता है, साथ ही इसके कोण की गणना करते समय x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन (एक समतल मामले के लिए)।

चूंकि इस लेख का विषय एक सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर से संबंधित है, हम आगे केवल उस समीकरण पर विचार करेंगे जहां यह वेक्टर मौलिक है और स्पष्ट रूप से निहित है, यानी एक वेक्टर अभिव्यक्ति।

वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा निर्दिष्ट करना

मान लें कि हमारे पास ज्ञात निर्देशांक (a; b; c) के साथ कुछ सदिश v¯ है। चूँकि तीन निर्देशांक हैं, सदिश अंतरिक्ष में दिया गया है। इसे आयताकार समन्वय प्रणाली में कैसे चित्रित किया जाए? यह बहुत सरलता से किया जाता है: तीन अक्षों में से प्रत्येक पर एक खंड प्लॉट किया जाता है, जिसकी लंबाई वेक्टर के संगत समन्वय के बराबर होती है। xy, yz और xz तलों पर बहाल किए गए तीन लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु सदिश का अंत होगा। इसकी शुरुआत बिंदु (0; 0; 0) है।

फिर भी, सदिश की दी गई स्थिति केवल एक ही नहीं है। इसी प्रकार, अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु पर इसकी उत्पत्ति को रखकर कोई भी v¯ खींच सकता है। ये तर्क कहते हैं कि वेक्टर का उपयोग करके एक विशिष्ट रेखा निर्धारित करना असंभव है। यह एक अनंत संख्या में समानांतर रेखाओं के परिवार को परिभाषित करता है।

अबअंतरिक्ष के कुछ बिंदु P(x₀; y₀; z_{0) को ठीक करें। और हम शर्त लगाते हैं: एक सीधी रेखा को P से होकर गुजरना चाहिए। इस मामले में, वेक्टर v¯ में भी यह बिंदु होना चाहिए। अंतिम तथ्य का अर्थ है कि P और v¯ का उपयोग करके एक एकल रेखा को परिभाषित किया जा सकता है। इसे निम्नलिखित समीकरण के रूप में लिखा जाएगा:}

क्यू=पी + × वी¯

यहाँ Q रेखा से संबंधित कोई बिंदु है। यह बिंदु उपयुक्त पैरामीटर चुनकर प्राप्त किया जा सकता है। लिखित समीकरण को सदिश समीकरण कहा जाता है, और v¯ को सीधी रेखा का दिशा सदिश कहा जाता है। इसे इस प्रकार व्यवस्थित करके कि यह P से होकर गुजरे और इसकी लंबाई को पैरामीटर के साथ बदलकर, हम Q के प्रत्येक बिंदु को एक सीधी रेखा के रूप में प्राप्त करते हैं।

समन्वय रूप में, समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + × (ए; बी; सी)}

और स्पष्ट (पैरामीट्रिक) रूप में, आप लिख सकते हैं:

x=x_{0+ × a;}

y=y_{0+ λ × b;}

z=z_{0+ × सी}

यदि हम उपरोक्त व्यंजकों में तीसरे निर्देशांक को हटा दें, तो हमें समतल पर सीधी रेखा के सदिश समीकरण प्राप्त होते हैं।

दिशा वेक्टर को जानना किन कार्यों के लिए उपयोगी है?

एक नियम के रूप में, ये रेखाओं की समांतरता और लंबवतता को निर्धारित करने के कार्य हैं। साथ ही, एक सीधी रेखा और एक बिंदु और एक सीधी रेखा के बीच की दूरी की गणना करते समय दिशा निर्धारित करने वाले प्रत्यक्ष वेक्टर का उपयोग विमान के सापेक्ष एक सीधी रेखा के व्यवहार का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

दोरेखाएँ समानांतर होंगी यदि उनके दिशा सदिश हैं। तदनुसार, रेखाओं के लंबों को उनके सदिशों की लंबता का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है। इस प्रकार की समस्याओं में, उत्तर प्राप्त करने के लिए विचारित सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना करना पर्याप्त है।

लाइनों और बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना के लिए कार्यों के मामले में, दिशा वेक्टर को संबंधित सूत्र में स्पष्ट रूप से शामिल किया गया है। आइए इसे लिख लें:

डी=|[पी₁पी_{2¯ × वी¯] | / |v¯|}

यहाँ P₁P₂¯ - बिंदुओं पर निर्मित P₁ और P ₂ निर्देशित खंड। बिंदु P₂ मनमाना है, वेक्टर v¯ के साथ लाइन पर पड़ा है, जबकि बिंदु P_{1 वह है जिससे दूरी होनी चाहिए निर्धारित रहो। यह या तो स्वतंत्र हो सकता है या किसी अन्य रेखा या विमान से संबंधित हो सकता है।}

ध्यान दें कि रेखाओं के बीच की दूरी की गणना तभी करना समझ में आता है जब वे समानांतर या प्रतिच्छेद कर रही हों। यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं, तो d शून्य है।

डी के लिए उपरोक्त सूत्र एक विमान और उसके समानांतर एक सीधी रेखा के बीच की दूरी की गणना के लिए भी मान्य है, केवल इस मामले में P_{1 विमान से संबंधित होना चाहिए।}

माना गया वेक्टर का उपयोग कैसे करें, यह बेहतर ढंग से दिखाने के लिए कई समस्याओं को हल करते हैं।

वेक्टर समीकरण समस्या

यह ज्ञात है कि एक सीधी रेखा को निम्नलिखित समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है:

y=3 × x - 4

आपको उपयुक्त व्यंजक में लिखना चाहिएवेक्टर फॉर्म।

यह एक सीधी रेखा का विशिष्ट समीकरण है, जिसे सामान्य रूप में लिखा गया हर स्कूली बच्चे को पता होता है। आइए दिखाते हैं कि इसे सदिश रूप में कैसे लिखा जाता है।

व्यंजक को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

(x; y)=(x; 3 × x - 4)

यह देखा जा सकता है कि यदि आप इसे खोलते हैं, तो आपको मूल समानता मिलती है। अब हम इसके दाहिने हिस्से को दो सदिशों में विभाजित करते हैं ताकि उनमें से केवल एक में x हो, हमारे पास:

(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)

कोष्ठक में से x निकालना बाकी है, इसे ग्रीक प्रतीक के साथ नामित करें और दाईं ओर के वैक्टर को स्वैप करें:

(x; y)=(0; -4) + × (1; 3)

हमें मूल व्यंजक का सदिश रूप प्राप्त हुआ है। सीधी रेखा के दिशा सदिश निर्देशांक हैं (1; 3)।

पंक्तियों की सापेक्ष स्थिति निर्धारित करने का कार्य

अंतरिक्ष में दो पंक्तियाँ दी गई हैं:

(x; y; z)=(1; 0; -2) + × (-1; 3; 1);

(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)

क्या वे समानांतर, क्रॉसिंग या प्रतिच्छेद करते हैं?

गैर-शून्य वैक्टर (-1; 3; 1) और (1; 2; 0) इन पंक्तियों के लिए मार्गदर्शक होंगे। आइए हम इन समीकरणों को पैरामीट्रिक रूप में व्यक्त करें और पहले के निर्देशांक को दूसरे में बदलें। हमें मिलता है:

x=1 -;

y=3 ×;

z=-2 +;

x=3 +=1 -=>γ=-2 -;

y=2 + 2 ×=3 ×=>=3/2 × λ - 1;

z=2=-2 + λ=>=4

उपरोक्त दो समीकरणों में पाए गए पैरामीटर λ को प्रतिस्थापित करें, हमें मिलता है:

γ=-2 -=-6;

γ=3 / 2 × - 1=5

पैरामीटर γ एक ही समय में दो अलग-अलग मान नहीं ले सकते। इसका अर्थ है कि रेखाओं का एक भी उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, अर्थात वे प्रतिच्छेद करती हैं। वे समानांतर नहीं हैं, क्योंकि गैर-शून्य वैक्टर एक दूसरे के समानांतर नहीं हैं (उनके समानांतरवाद के लिए, एक संख्या होनी चाहिए, जो एक वेक्टर से गुणा करके दूसरे के निर्देशांक की ओर ले जाती है)।

विमान का गणितीय विवरण

अंतरिक्ष में समतल करने के लिए, हम एक सामान्य समीकरण देते हैं:

ए × एक्स + बी × वाई + सी × जेड + डी=0

यहाँ लैटिन बड़े अक्षर विशिष्ट संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। उनमें से पहले तीन विमान के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक को परिभाषित करते हैं। यदि इसे n¯ से निरूपित किया जाता है, तो:

n¯=(ए; बी; सी)

यह सदिश समतल के लंबवत है, इसलिए इसे गाइड कहा जाता है। इसका ज्ञान, साथ ही विमान से संबंधित किसी भी बिंदु के ज्ञात निर्देशांक, विशिष्ट रूप से बाद वाले को निर्धारित करते हैं।

यदि बिंदु P(x₁; y₁; z_{1) संबंधित है विमान, फिर अवरोधन डी की गणना निम्नानुसार की जाती है:}

D=-1 × (A × x₁+ B × y₁ + C × z₁₎

आइए विमान के लिए सामान्य समीकरण का उपयोग करके कुछ समस्याओं को हल करते हैं।

कार्य के लिएविमान के सामान्य वेक्टर का पता लगाना

विमान को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1

उसके लिए दिशा सदिश कैसे खोजें?

उपरोक्त सिद्धांत से यह इस प्रकार है कि सामान्य वेक्टर n¯ के निर्देशांक चर के सामने गुणांक हैं। इस संबंध में, n¯ खोजने के लिए, समीकरण को सामान्य रूप में लिखा जाना चाहिए। हमारे पास है:

1 / 3 × x + 1/2 × y - 1/4 × z - 13/6=0

तब समतल का सामान्य सदिश है:

n¯=(1/3; 1/2; -1/4)

विमान का समीकरण बनाने की समस्या

तीन बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं:

एम_{1(1; 0; 0);}

एम_{2(2; -1; 5);}

एम_{3(0; -2; -2)}

इन सभी बिंदुओं वाले समतल का समीकरण कैसा दिखेगा।

तीन बिंदुओं के माध्यम से जो एक ही रेखा से संबंधित नहीं हैं, केवल एक विमान खींचा जा सकता है। इसका समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम पहले समतल n¯ के दिशा सदिश की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं: हम विमान से संबंधित दो वैक्टरों को मनमाना पाते हैं, और उनके वेक्टर उत्पाद की गणना करते हैं। यह एक सदिश देगा जो इस तल पर लंबवत होगा, अर्थात n¯। हमारे पास है:

एम₁एम₂¯=(1; -1; 5); एम₁एम_{3¯=(-1; -2; -2);}

n¯=[एम₁एम₂¯ × एम₁एम 3_{¯]=(12; -3; -3)}

बिंदु M_{1ड्रा करने के लिए लेंसमतल अभिव्यक्तियाँ। हमें मिलता है:}

डी=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;

12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>

4 × x - y - z - 4=0

हमने अंतरिक्ष में एक विमान के लिए एक दिशा वेक्टर को परिभाषित करके एक सामान्य प्रकार का व्यंजक प्राप्त किया है।

विमानों के साथ समस्याओं को हल करते समय क्रॉस उत्पाद गुण को याद रखना चाहिए, क्योंकि यह आपको एक सामान्य वेक्टर के निर्देशांक को सरल तरीके से निर्धारित करने की अनुमति देता है।