1900 में, पिछली सदी के महानतम वैज्ञानिकों में से एक डेविड हिल्बर्ट ने गणित की 23 अनसुलझी समस्याओं की एक सूची तैयार की। उन पर किए गए कार्य का मानव ज्ञान के इस क्षेत्र के विकास पर जबरदस्त प्रभाव पड़ा। 100 साल बाद, क्ले मैथमैटिकल इंस्टीट्यूट ने 7 समस्याओं की एक सूची प्रस्तुत की, जिन्हें मिलेनियम प्रॉब्लम्स के नाम से जाना जाता है। उनमें से प्रत्येक को $1 मिलियन के पुरस्कार की पेशकश की गई।
पहेलियों की दोनों सूचियों के बीच एकमात्र समस्या जो वैज्ञानिकों को एक सदी से भी अधिक समय से सता रही थी, वह थी रीमैन परिकल्पना। वह अभी भी अपने फैसले की प्रतीक्षा कर रही है।
लघु जीवनी संबंधी टिप्पणी
जॉर्ज फ्रेडरिक बर्नहार्ड रीमैन का जन्म 1826 में हनोवर में एक गरीब पादरी के एक बड़े परिवार में हुआ था, और वह केवल 39 वर्ष जीवित रहे। वह 10 कार्यों को प्रकाशित करने में कामयाब रहे। हालाँकि, पहले से ही अपने जीवनकाल के दौरान, रीमैन को उनके शिक्षक जोहान गॉस का उत्तराधिकारी माना जाता था। 25 साल की उम्र में, युवा वैज्ञानिक ने अपने शोध प्रबंध "एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के मूल सिद्धांतों" का बचाव किया। बाद में उन्होंने सूत्रउनकी प्रसिद्ध परिकल्पना।
अभाज्य संख्या
गणित प्रकट हुआ जब मनुष्य ने गिनती करना सीखा। उसी समय, संख्याओं के बारे में पहले विचार उत्पन्न हुए, जिन्हें बाद में उन्होंने वर्गीकृत करने का प्रयास किया। उनमें से कुछ में सामान्य गुण पाए गए हैं। विशेष रूप से, प्राकृतिक संख्याओं के बीच, अर्थात, जिनका उपयोग वस्तुओं की संख्या को गिनने (क्रमांकन) या नामित करने में किया जाता था, एक समूह को प्रतिष्ठित किया गया था जो केवल एक और अपने आप से विभाज्य थे। उन्हें सरल कहा जाता है। यूक्लिड ने अपने तत्वों में ऐसी संख्याओं के समुच्चय की अनंतता के प्रमेय का एक सुंदर प्रमाण दिया था। फिलहाल उनकी तलाश जारी है। विशेष रूप से, पहले से ज्ञात सबसे बड़ी संख्या 274 207 281 – 1. है
यूलर फॉर्मूला
अभाज्य समुच्चय की अनंतता की अवधारणा के साथ, यूक्लिड ने अभाज्य गुणनखंडों में एकमात्र संभावित अपघटन पर दूसरा प्रमेय भी निर्धारित किया। इसके अनुसार, कोई भी धनात्मक पूर्णांक अभाज्य संख्याओं के केवल एक समुच्चय का गुणनफल होता है। 1737 में, महान जर्मन गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर ने यूक्लिड के पहले अनंत प्रमेय को नीचे दिए गए सूत्र के रूप में व्यक्त किया।
इसे जीटा फंक्शन कहते हैं, जहां s एक स्थिरांक है और p सभी अभाज्य मान लेता है। विस्तार की विशिष्टता के बारे में यूक्लिड का कथन सीधे इसके बाद आया।
रिमेंन जीटा फंक्शन
यूलर का सूत्र, करीब से निरीक्षण करने पर, पूरी तरह से हैआश्चर्यजनक है क्योंकि यह अभाज्य संख्याओं और पूर्णांकों के बीच संबंध को परिभाषित करता है। आखिरकार, अनंत रूप से कई व्यंजक जो केवल अभाज्य संख्याओं पर निर्भर करते हैं, इसके बाईं ओर गुणा किया जाता है, और सभी धनात्मक पूर्णांकों का योग दाईं ओर स्थित होता है।
रिमैन यूलर से आगे निकल गए। संख्याओं के वितरण की समस्या की कुंजी खोजने के लिए, उन्होंने वास्तविक और जटिल दोनों चरों के लिए एक सूत्र को परिभाषित करने का प्रस्ताव रखा। यह वह थी जिसे बाद में रीमैन जीटा समारोह का नाम मिला। 1859 में, वैज्ञानिक ने एक लेख प्रकाशित किया जिसका शीर्षक था "अभाज्य संख्याओं की संख्या पर जो किसी दिए गए मान से अधिक नहीं हैं", जहां उन्होंने अपने सभी विचारों को संक्षेप में प्रस्तुत किया।
रीमैन ने यूलर श्रृंखला का उपयोग करने का सुझाव दिया, जो किसी भी वास्तविक s>1 के लिए अभिसरण करता है। यदि कॉम्प्लेक्स एस के लिए समान सूत्र का उपयोग किया जाता है, तो श्रृंखला इस चर के किसी भी मूल्य के लिए 1 से अधिक वास्तविक भाग के साथ अभिसरण करेगी। रीमैन ने विश्लेषणात्मक निरंतरता प्रक्रिया लागू की, सभी जटिल संख्याओं के लिए जेटा (एस) की परिभाषा का विस्तार किया, लेकिन "बाहर फेंक दिया" इकाई। इसे बाहर रखा गया था क्योंकि s=1 पर zeta फलन अनंत तक बढ़ जाता है।
व्यावहारिक समझ
एक तार्किक सवाल उठता है: जीटा फंक्शन क्यों है, जो कि रीमैन के काम में अशक्त परिकल्पना, दिलचस्प और महत्वपूर्ण है? जैसा कि आप जानते हैं, इस समय किसी भी ऐसे सरल पैटर्न की पहचान नहीं की गई है जो प्राकृत संख्याओं के बीच अभाज्य संख्याओं के वितरण का वर्णन करता हो। रीमैन यह पता लगाने में सक्षम था कि ज़ीटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्यों के वितरण के संदर्भ में एक्स से अधिक नहीं होने वाले प्राइम की संख्या पीआई (एक्स) व्यक्त की जाती है। इसके अलावा, रीमैन परिकल्पना हैकुछ क्रिप्टोग्राफ़िक एल्गोरिदम के संचालन के लिए समय अनुमानों को साबित करने के लिए एक आवश्यक शर्त।
रिमेंन परिकल्पना
इस गणितीय समस्या के पहले फॉर्मूलेशन में से एक, जो आज तक सिद्ध नहीं हुआ है, ऐसा लगता है: गैर-तुच्छ 0 जीटा फ़ंक्शन जटिल संख्याएं हैं जिनका वास्तविक भाग ½ के बराबर है। दूसरे शब्दों में, वे रेखा पर स्थित हैं Re s=½।
एक सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना भी है, जो एक ही कथन है, लेकिन जेटा कार्यों के सामान्यीकरण के लिए, जिसे आमतौर पर डिरिचलेट एल-फ़ंक्शंस कहा जाता है (नीचे फोटो देखें)।
सूत्र में χ(n) - कुछ संख्यात्मक वर्ण (modulo k).
रिमेंनियन कथन को तथाकथित शून्य परिकल्पना माना जाता है, क्योंकि इसे मौजूदा नमूना डेटा के साथ संगति के लिए परीक्षण किया गया है।
जैसा कि रीमैन ने तर्क दिया
जर्मन गणितज्ञ की टिप्पणी मूल रूप से लापरवाही से लिखी गई थी। तथ्य यह है कि उस समय वैज्ञानिक अभाज्य संख्याओं के वितरण पर प्रमेय को सिद्ध करने वाले थे और इस संदर्भ में इस परिकल्पना का कोई विशेष महत्व नहीं था। हालांकि, कई अन्य मुद्दों को सुलझाने में इसकी भूमिका बहुत बड़ी है। यही कारण है कि रीमैन की धारणा को अब कई वैज्ञानिकों द्वारा अप्रमाणित गणितीय समस्याओं में सबसे महत्वपूर्ण माना जाता है।
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, वितरण प्रमेय को साबित करने के लिए पूर्ण रीमैन परिकल्पना की आवश्यकता नहीं है, और यह तार्किक रूप से उचित ठहराने के लिए पर्याप्त है कि जीटा फ़ंक्शन के किसी भी गैर-तुच्छ शून्य का वास्तविक हिस्सा है0 और 1 के बीच। यह इस गुण से इस प्रकार है कि ऊपर दिए गए सटीक सूत्र में प्रकट होने वाले सभी 0 के zeta फ़ंक्शन का योग एक परिमित स्थिरांक है। एक्स के बड़े मूल्यों के लिए, यह पूरी तरह से खो सकता है। सूत्र का एकमात्र सदस्य जो बहुत बड़े x के लिए भी वही रहता है, x ही है। शेष जटिल शब्द इसकी तुलना में बिना लक्षण के गायब हो जाते हैं। तो भारित योग x की ओर जाता है। इस परिस्थिति को अभाज्य संख्याओं के वितरण पर प्रमेय की सत्यता की पुष्टि माना जा सकता है। इस प्रकार, रीमैन जीटा फ़ंक्शन के शून्यों की एक विशेष भूमिका होती है। इसमें यह साबित करना शामिल है कि ऐसे मूल्य अपघटन सूत्र में महत्वपूर्ण योगदान नहीं दे सकते हैं।
रिमेंन के अनुयायी
तपेदिक से दुखद मौत ने इस वैज्ञानिक को अपने कार्यक्रम को तार्किक अंत तक नहीं लाने दिया। हालाँकि, Sh-Zh ने उनसे पदभार ग्रहण कर लिया। डे ला वेली पुसिन और जैक्स हैडामार्ड। एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से, उन्होंने अभाज्य संख्याओं के वितरण पर एक प्रमेय निकाला। Hadamard और Poussin यह साबित करने में कामयाब रहे कि सभी गैर-तुच्छ 0 जेटा फ़ंक्शन क्रिटिकल बैंड के भीतर हैं।
इन वैज्ञानिकों के काम के लिए धन्यवाद, गणित में एक नई दिशा सामने आई है - संख्याओं का विश्लेषणात्मक सिद्धांत। बाद में, रीमैन जिस प्रमेय पर काम कर रहे थे, उसके कई और आदिम प्रमाण अन्य शोधकर्ताओं द्वारा प्राप्त किए गए थे। विशेष रूप से, पाल एर्डोस और एटल सेलबर्ग ने इसकी पुष्टि करने वाली एक बहुत ही जटिल तार्किक श्रृंखला की खोज की, जिसके लिए जटिल विश्लेषण के उपयोग की आवश्यकता नहीं थी। हालांकि, इस बिंदु तक, कई महत्वपूर्णकई संख्या सिद्धांत कार्यों के सन्निकटन सहित प्रमेय। इस संबंध में, Erdős और Atle Selberg के नए काम ने व्यावहारिक रूप से कुछ भी प्रभावित नहीं किया।
समस्या के सबसे सरल और सबसे सुंदर प्रमाणों में से एक 1980 में डोनाल्ड न्यूमैन द्वारा खोजा गया था। यह प्रसिद्ध कॉची प्रमेय पर आधारित था।
क्या रीमैनियन परिकल्पना से आधुनिक क्रिप्टोग्राफी की नींव को खतरा है
चित्रलिपि की उपस्थिति के साथ-साथ डेटा एन्क्रिप्शन उत्पन्न हुआ, अधिक सटीक रूप से, उन्हें स्वयं पहला कोड माना जा सकता है। फिलहाल, डिजिटल क्रिप्टोग्राफी का एक पूरा क्षेत्र है, जो एन्क्रिप्शन एल्गोरिदम विकसित कर रहा है।
अभाज्य और "अर्ध-अभाज्य" संख्याएं, यानी वे जो एक ही वर्ग से केवल 2 अन्य संख्याओं से विभाज्य हैं, सार्वजनिक कुंजी प्रणाली का आधार बनती हैं जिसे RSA के रूप में जाना जाता है। इसका सबसे व्यापक अनुप्रयोग है। विशेष रूप से, इसका उपयोग इलेक्ट्रॉनिक हस्ताक्षर उत्पन्न करते समय किया जाता है। डमी के लिए सुलभ शब्दों में बोलते हुए, रीमैन परिकल्पना अभाज्य संख्याओं के वितरण में एक प्रणाली के अस्तित्व पर जोर देती है। इस प्रकार, क्रिप्टोग्राफिक कुंजियों की ताकत, जिस पर ई-कॉमर्स के क्षेत्र में ऑनलाइन लेनदेन की सुरक्षा निर्भर करती है, काफी कम हो जाती है।
गणित के अन्य अनसुलझे प्रश्न
अन्य सहस्राब्दी लक्ष्यों के लिए कुछ शब्द समर्पित करके लेख को समाप्त करना उचित है। इनमें शामिल हैं:
- कक्षा पी और एनपी की समानता। समस्या इस प्रकार तैयार की गई है: यदि बहुपद समय में किसी विशेष प्रश्न के सकारात्मक उत्तर की जाँच की जाती है, तो क्या यह सच है कि इस प्रश्न का उत्तर हीजल्दी मिल सकता है?
- हॉज का अनुमान। सरल शब्दों में, इसे निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: कुछ प्रकार के प्रक्षेपी बीजीय किस्मों (रिक्त स्थान) के लिए, हॉज चक्र वस्तुओं के संयोजन होते हैं जिनकी ज्यामितीय व्याख्या होती है, अर्थात बीजगणितीय चक्र।
- पोंकारे का अनुमान। यह एकमात्र मिलेनियम चैलेंज है जो अब तक सिद्ध हो चुका है। इसके अनुसार, कोई भी 3-आयामी वस्तु जिसमें 3-आयामी गोले के विशिष्ट गुण हों, विरूपण तक एक गोला होना चाहिए।
- यांग-मिल्स के क्वांटम सिद्धांत की पुष्टि। यह साबित करना आवश्यक है कि इन वैज्ञानिकों द्वारा अंतरिक्ष के लिए सामने रखा गया क्वांटम सिद्धांत R 4 मौजूद है और किसी भी साधारण कॉम्पैक्ट गेज समूह G के लिए 0 वां द्रव्यमान दोष है।
- बिर्च-स्विनर्टन-डायर परिकल्पना। यह क्रिप्टोग्राफी से संबंधित एक और मुद्दा है। यह अण्डाकार वक्रों को स्पर्श करता है।
- नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के अस्तित्व और समाधानों की सुगमता की समस्या।
अब आप रीमैन परिकल्पना को जानते हैं। सरल शब्दों में, हमने कुछ अन्य सहस्राब्दी चुनौतियाँ तैयार की हैं। उनका समाधान हो जाएगा या यह साबित हो जाएगा कि उनके पास कोई समाधान नहीं है, यह समय की बात है। इसके अलावा, यह संभावना नहीं है कि इसके लिए बहुत लंबा इंतजार करना होगा, क्योंकि गणित कंप्यूटर की कंप्यूटिंग क्षमताओं का तेजी से उपयोग कर रहा है। हालांकि, सब कुछ प्रौद्योगिकी के अधीन नहीं है, और सबसे पहले, वैज्ञानिक समस्याओं को हल करने के लिए अंतर्ज्ञान और रचनात्मकता की आवश्यकता होती है।
