प्राचीन मिस्र में भी विज्ञान का उदय हुआ, जिसकी सहायता से आयतन, क्षेत्रफल और अन्य मात्राओं को मापना संभव हुआ। इसके लिए प्रेरणा पिरामिडों का निर्माण था। इसमें जटिल गणनाओं की एक महत्वपूर्ण संख्या शामिल थी। और निर्माण के अलावा, भूमि को ठीक से मापना महत्वपूर्ण था। इसलिए "ज्यामिति" का विज्ञान ग्रीक शब्द "जियोस" - अर्थ और "मेट्रियो" से आया है - मैं मापता हूं।
खगोलीय परिघटनाओं के अवलोकन से ज्यामितीय रूपों का अध्ययन सुगम हुआ। और पहले से ही 17 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में। इ। एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना के लिए प्रारंभिक विधियाँ, एक गेंद का आयतन पाया गया, और सबसे महत्वपूर्ण खोज पाइथागोरस प्रमेय थी।
एक त्रिभुज में खुदे हुए वृत्त के बारे में प्रमेय का कथन इस प्रकार है:
एक त्रिभुज में केवल एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।
इस व्यवस्था से वृत्त खुदा हुआ है, और त्रिभुज वृत्त के पास परिबद्ध है।
एक त्रिभुज में अंकित वृत्त के केंद्र के बारे में प्रमेय का कथन इस प्रकार है:
एक वृत्त का केंद्रीय बिंदु जो खुदा हुआ हैत्रिभुज, इस त्रिभुज के समद्विभाजक का एक प्रतिच्छेद बिंदु है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त
किसी वृत्त को त्रिभुज में अंकित माना जाता है यदि वह अपनी सभी भुजाओं को कम से कम एक बिंदु से स्पर्श करे।
नीचे दी गई तस्वीर एक समद्विबाहु त्रिभुज के अंदर एक वृत्त दिखाती है। एक त्रिभुज में अंकित एक वृत्त के बारे में प्रमेय की शर्त पूरी होती है - यह त्रिभुज AB, BC और CA की सभी भुजाओं को क्रमशः बिंदुओं R, S, Q पर स्पर्श करती है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों में से एक यह है कि खुदा हुआ वृत्त संपर्क के बिंदु (BS=SC) द्वारा आधार को समद्विभाजित करता है, और उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या इस त्रिभुज (SP) की ऊंचाई का एक तिहाई है।=एएस/3)।
त्रिभुज के गुण वृत्त प्रमेय:
- त्रिभुज के एक शीर्ष से वृत्त के संपर्क बिंदुओं तक आने वाले खंड बराबर होते हैं। चित्र में AR=AQ, BR=BS, CS=CQ।
- एक वृत्त की त्रिज्या (अंकित) त्रिभुज के आधे परिमाप से विभाजित क्षेत्रफल है। एक उदाहरण के रूप में, आपको एक समद्विबाहु त्रिभुज को उसी अक्षर पदनामों के साथ खींचने की आवश्यकता है जैसा कि चित्र में है, निम्न आयामों में: आधार BC \u003d 3 सेमी, ऊँचाई AS \u003d 2 सेमी, भुजाएँ AB \u003d BC, क्रमशः प्राप्त की जाती हैं। 2.5 सेमी प्रत्येक। हम प्रत्येक कोने से एक समद्विभाजक खींचते हैं और उनके चौराहे के स्थान को P के रूप में निरूपित करते हैं। हम त्रिज्या PS के साथ एक वृत्त बनाते हैं, जिसकी लंबाई ज्ञात की जानी चाहिए। आप आधार के 1/2 को ऊंचाई से गुणा करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं: S=1/2DCAS=1/232=3 सेमी2. अर्द्धपरिधित्रिभुज सभी पक्षों के योग के 1/2 के बराबर है: P \u003d (AB + BC + SA) / 2 \u003d (2.5 + 3 + 2.5) / 2 \u003d 4 सेमी; PS=S/P=3/4=0.75 cm2, जो रूलर से नापने पर पूरी तरह से सही होता है। तदनुसार, एक त्रिभुज में अंकित वृत्त के बारे में प्रमेय का गुण सत्य है।
एक समकोण त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त
समकोण वाले त्रिभुज के लिए, उत्कीर्ण वृत्त प्रमेय त्रिभुज के गुण लागू होते हैं। और, इसके अलावा, पाइथागोरस प्रमेय के अभिधारणाओं के साथ समस्याओं को हल करने की क्षमता को जोड़ा जाता है।
एक समकोण त्रिभुज में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या निम्नानुसार निर्धारित की जा सकती है: पैरों की लंबाई जोड़ें, कर्ण का मान घटाएँ और परिणामी मान को 2 से विभाजित करें।
एक अच्छा सूत्र है जो आपको त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने में मदद करेगा - इस त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या से परिधि को गुणा करें।
अन्तर्वृत्त प्रमेय का निरूपण
अंकित और परिबद्ध आकृतियों के बारे में प्रमेय योजनामिति में महत्वपूर्ण हैं। उनमें से एक ऐसा लगता है:
एक त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र उसके कोनों से खींचे गए समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।
नीचे दिया गया चित्र इस प्रमेय का प्रमाण दिखाता है। कोणों की समानता दिखाई जाती है, और, तदनुसार, आसन्न त्रिभुजों की समानता।
त्रिभुज में अंकित वृत्त के केंद्र के बारे में प्रमेय
एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या,स्पर्शरेखा बिंदुओं पर खींचे गए त्रिभुज की भुजाओं पर लंबवत होते हैं।
कार्य "एक त्रिभुज में उत्कीर्ण एक वृत्त के बारे में प्रमेय तैयार करना" को आश्चर्यचकित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि यह ज्यामिति में मौलिक और सरल ज्ञान में से एक है जिसे आपको कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए पूरी तरह से मास्टर करने की आवश्यकता है वास्तविक जीवन।
