सर्कल ज्यामिति में मुख्य आकृति है, जिसके गुण 8वीं कक्षा में स्कूल में माने जाते हैं। वृत्त से जुड़ी विशिष्ट समस्याओं में से एक इसके किसी भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, जिसे वृत्ताकार त्रिज्यखंड कहते हैं। लेख एक क्षेत्र के क्षेत्र और उसके चाप की लंबाई के साथ-साथ एक विशिष्ट समस्या को हल करने के लिए उनके उपयोग का एक उदाहरण प्रदान करता है।
सर्कल और सर्कल की अवधारणा
किसी वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र देने से पहले, आइए विचार करें कि संकेतित आकृति क्या है। गणितीय परिभाषा के अनुसार, एक वृत्त को एक समतल पर एक ऐसी आकृति के रूप में समझा जाता है, जिसके सभी बिंदु किसी एक बिंदु (केंद्र) से समान दूरी पर होते हैं।
किसी वृत्त पर विचार करते समय, निम्नलिखित शब्दावली का प्रयोग किया जाता है:
- त्रिज्या - एक खंड जो केंद्रीय बिंदु से वृत्त के वक्र तक खींचा जाता है। इसे आमतौर पर R.
- व्यास एक ऐसा खंड है जो वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ता है, लेकिन आकृति के केंद्र से भी गुजरता है।इसे आमतौर पर D.
- चाप एक घुमावदार वृत्त का भाग है। इसे या तो लंबाई की इकाइयों में या कोणों का उपयोग करके मापा जाता है।
अक्षर से दर्शाया जाता है।
अक्षर से दर्शाया जाता है।
सर्कल एक और महत्वपूर्ण ज्यामिति आकृति है, यह बिंदुओं का एक संग्रह है जो एक घुमावदार सर्कल से घिरा है।
वृत्त क्षेत्र और परिधि
आइटम के शीर्षक में नोट किए गए मानों की गणना दो सरल सूत्रों का उपयोग करके की जाती है। वे नीचे सूचीबद्ध हैं:
- परिधि: L=2piR.
- वृत्त का क्षेत्रफल: S=piR2.
इन सूत्रों में pi कुछ नियतांक है जिसे Pi कहा जाता है। यह अपरिमेय है, अर्थात इसे बिल्कुल साधारण भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। पाई लगभग 3.1416 है।
जैसा कि आप उपरोक्त भावों से देख सकते हैं, क्षेत्रफल और लंबाई की गणना करने के लिए, केवल वृत्त की त्रिज्या जानने के लिए पर्याप्त है।
वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और उसके चाप की लंबाई
संबंधित सूत्रों पर विचार करने से पहले, हमें याद है कि ज्यामिति में कोण आमतौर पर दो मुख्य तरीकों से व्यक्त किया जाता है:
- सेक्सैजेसिमल डिग्री में, और अपनी धुरी के चारों ओर एक पूर्ण घूर्णन 360o;
- रेडियन में, निम्न समीकरण द्वारा pi के अंशों के रूप में व्यक्त किया जाता है और डिग्री से संबंधित होता है: 2pi=360o।
है
एक वृत्त का त्रिज्यखंड तीन रेखाओं से घिरी एक आकृति है: एक वृत्त का एक चाप और इस चाप के सिरों पर स्थित दो त्रिज्याएँ। वृत्ताकार त्रिज्यखंड का एक उदाहरण नीचे दी गई तस्वीर में दिखाया गया है।
एक सर्कल के लिए एक सेक्टर क्या है, इसका अंदाजा लगाना आसान हैसमझें कि इसके क्षेत्र और संबंधित चाप की लंबाई की गणना कैसे करें। ऊपर की आकृति से यह देखा जा सकता है कि त्रिज्यखंड का चाप कोण से मेल खाता है। हम जानते हैं कि एक पूर्ण वृत्त 2pi रेडियन से मेल खाता है, इसलिए एक वृत्ताकार त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र यह रूप लेगा: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=R2/2. यहाँ कोण को रेडियन में व्यक्त किया जाता है। सेक्टर क्षेत्र के लिए एक समान सूत्र, यदि कोण θ को डिग्री में मापा जाता है, तो यह इस तरह दिखेगा: S1=piθR2 /360.
एक त्रिज्यखंड बनाने वाले चाप की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: L1=θ2piR/(2pi)=θR. और अगर θ डिग्री में जाना जाता है, तो: L1=piθR/180.
समस्या समाधान का उदाहरण
आइए एक साधारण समस्या के उदाहरण का उपयोग करके दिखाते हैं कि किसी वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल और उसके चाप की लंबाई के लिए सूत्रों का उपयोग कैसे किया जाता है।
पहिए में 12 तीलियां होती हैं। जब पहिया एक पूर्ण चक्कर लगाता है, तो वह 1.5 मीटर की दूरी तय करता है। पहिए की दो आसन्न तीलियों के बीच घिरा क्षेत्र क्या है, और उनके बीच चाप की लंबाई क्या है?
जैसा कि आप संबंधित सूत्रों से देख सकते हैं, उनका उपयोग करने के लिए, आपको दो मात्राओं को जानना होगा: वृत्त की त्रिज्या और चाप का कोण। त्रिज्या की गणना पहिए की परिधि जानने से की जा सकती है, क्योंकि एक चक्कर में इसके द्वारा तय की गई दूरी इसके बिल्कुल अनुरूप होती है। हमारे पास: 2Rpi=1.5, कहाँ से: R=1.5/(2pi)=0.2387 मीटर। निकटतम तीलियों के बीच के कोण को उनकी संख्या जानकर निर्धारित किया जा सकता है।यह मानते हुए कि सभी 12 तीलियाँ वृत्त को समान त्रिज्यखंडों में विभाजित करती हैं, हमें 12 समान त्रिज्यखंड प्राप्त होते हैं। तदनुसार, दो तीलियों के बीच चाप का कोणीय माप है: θ=2pi/12=pi/6=0.5236 रेडियन।
हमें सभी आवश्यक मान मिल गए हैं, अब उन्हें सूत्रों में प्रतिस्थापित किया जा सकता है और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक मानों की गणना की जा सकती है। हमें मिलता है: S1=0.5236(0.2387)2/2=0.0149 m2, या 149सेमी2; एल1=0.52360.2387=0.125 मीटर या 12.5 सेमी।
