एक छात्र के लिए सबसे कठिन चीजों में से एक सरल भिन्न के साथ अलग-अलग क्रियाएं हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि बच्चों के लिए अमूर्त रूप से सोचना अभी भी मुश्किल है, और भिन्न, वास्तव में, उनके लिए ऐसे ही दिखते हैं। इसलिए, सामग्री प्रस्तुत करते समय, शिक्षक अक्सर उपमाओं का सहारा लेते हैं और अंगुलियों पर अंशों के घटाव और जोड़ की व्याख्या करते हैं। हालांकि स्कूली गणित का एक भी पाठ नियमों और परिभाषाओं के बिना नहीं चल सकता।
बुनियादी अवधारणा
भिन्न के साथ कोई भी कार्य शुरू करने से पहले, कुछ बुनियादी परिभाषाओं और नियमों को सीखने की सलाह दी जाती है। प्रारंभ में, यह समझना महत्वपूर्ण है कि भिन्न क्या है। इसका अर्थ एक इकाई के एक या अधिक भिन्नों का प्रतिनिधित्व करने वाली संख्या से है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक पाव रोटी को 8 भागों में काटते हैं और उसके 3 टुकड़े एक प्लेट में रखते हैं, तो 3/8 अंश होगा। इसके अलावा, इस लेखन में यह एक साधारण अंश होगा, जहां रेखा के ऊपर की संख्या अंश है, और इसके नीचे हर है। लेकिन अगर इसे 0.375 के रूप में लिखा जाता है, तो यह पहले से ही एक दशमलव भिन्न होगा।
इसके अलावा, साधारण भिन्नों को उचित, अनुचित और मिश्रित में विभाजित किया जाता है। पूर्व में वे सभी शामिल हैं जिनका अंश. से कम हैहर। यदि, इसके विपरीत, भाजक अंश से कम है, तो यह पहले से ही एक अनुचित भिन्न होगा। यदि सही के सामने एक पूर्णांक है, तो वे मिश्रित संख्या की बात करते हैं। इस प्रकार, भिन्न 1/2 सही है, लेकिन 7/2 नहीं है। और अगर आप इसे इस रूप में लिखते हैं: 31/2, तो यह मिश्रित हो जाएगा।
भिन्नों का योग क्या है, यह समझना आसान बनाने के लिए, और इसे आसानी से करने के लिए, भिन्न के मुख्य गुण को याद रखना भी महत्वपूर्ण है। इसका सार इस प्रकार है। यदि अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा किया जाए, तो भिन्न नहीं बदलेगा। यह वह गुण है जो आपको साधारण और अन्य भिन्नों के साथ सरलतम क्रियाएं करने की अनुमति देता है। वास्तव में, इसका मतलब है कि 1/15 और 3/45 वास्तव में एक ही संख्या है।
समान हर के साथ भिन्न जोड़ना
यह क्रिया आमतौर पर करना आसान होता है। इस मामले में भिन्नों का जोड़ पूर्णांकों के साथ समान क्रिया के समान है। भाजक अपरिवर्तित रहता है, और अंशों को केवल एक साथ जोड़ा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आपको भिन्न 2/7 और 3/7 जोड़ने की आवश्यकता है, तो एक नोटबुक में स्कूल की समस्या का समाधान इस प्रकार होगा:
2/7 + 3/7=(2+3)/7=5/7.
इसके अलावा, भिन्नों के ऐसे योग को एक सरल उदाहरण से समझाया जा सकता है। एक साधारण सेब लें और उदाहरण के लिए, 8 भागों में काट लें। पहले 3 भागों को अलग-अलग बिछाएं, और फिर उनमें 2 और डालें। और परिणामस्वरूप, पूरे सेब का 5/8 भाग कप में रहेगा। अंकगणितीय समस्या स्वयं नीचे दर्शाए अनुसार लिखी गई है:
3/8 + 2/8=(3+2)/8=5/8.
जोड़भिन्न हर के साथ भिन्न
लेकिन अक्सर अधिक कठिन समस्याएं होती हैं, जहां आपको एक साथ जोड़ने की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए, 5/9 और 3/5। यह वह जगह है जहाँ भिन्न के साथ क्रियाओं में पहली कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं। आखिरकार, ऐसी संख्याओं को जोड़ने के लिए अतिरिक्त ज्ञान की आवश्यकता होगी। अब आपको उनकी मुख्य संपत्ति को पूरी तरह से याद करने की आवश्यकता होगी। उदाहरण से भिन्नों को जोड़ने के लिए, पहले उन्हें एक सामान्य हर में घटाना होगा। ऐसा करने के लिए, बस 9 और 5 को आपस में गुणा करें, अंश "5" को 5 से गुणा करें, और "3" को क्रमशः 9 से गुणा करें। इस प्रकार, ऐसे अंश पहले ही जोड़े जा चुके हैं: 25/45 और 27/45। अब यह केवल अंशों को जोड़ने और उत्तर 52/45 प्राप्त करने के लिए रह गया है। कागज के एक टुकड़े पर, एक उदाहरण इस तरह दिखेगा:
5/9 + 3/5=(5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9)=25/45 + 27/45=(25+27) /45=52/45=17/45।
लेकिन इस तरह के हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए हमेशा लाइन के नीचे संख्याओं के एक साधारण गुणा की आवश्यकता नहीं होती है। सबसे पहले सबसे कम आम भाजक की तलाश करें। उदाहरण के लिए, भिन्न 2/3 और 5/6 के लिए। उनके लिए यह संख्या 6 होगी। लेकिन उत्तर हमेशा स्पष्ट नहीं होता है। इस मामले में, दो संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणक (संक्षिप्त एलसीएम) खोजने के लिए नियम को याद रखना उचित है।
इसे दो पूर्णांकों का अल्पतम समापवर्तक समझा जाता है। इसे खोजने के लिए, प्रत्येक को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें। अब उनमें से वे लिखिए जो प्रत्येक संख्या में कम से कम एक बार आते हैं। उन्हें एक साथ गुणा करें और समान भाजक प्राप्त करें। वास्तव में, सब कुछ थोड़ा आसान लगता है।
उदाहरण के लिए, आपको चाहिएभिन्न 4/15 और 1/6 जोड़ें। तो, साधारण संख्या 3 और 5, और छह - दो और तीन को गुणा करके 15 प्राप्त किया जाता है। इसका मतलब है कि उनके लिए एलसीएम 5 x 3 x 2=30 होगा। अब, पहले अंश के हर से 30 को विभाजित करने पर, हमें इसके अंश - 2 के लिए एक कारक मिलता है। और दूसरी भिन्न के लिए यह संख्या 5 होगी। इस प्रकार, यह साधारण भिन्नों 8/30 और 5/30 को जोड़ने और 13/30 को प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए बनी हुई है। सब कुछ बेहद सरल है। नोटबुक में यह कार्य इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:
4/15 + 1/6=(4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5)=8/30 + 5/30=13/30.
नोक (15, 6)=30.
मिश्रित संख्याएं जोड़ें
अब, साधारण भिन्नों को जोड़ने की सभी बुनियादी तरकीबों को जानकर, आप अधिक जटिल उदाहरणों पर अपना हाथ आजमा सकते हैं। और ये मिश्रित संख्याएँ होंगी, जिसका अर्थ है इस प्रकार का भिन्न: 22/3। यहाँ पूर्णांक भाग को उचित भिन्न से पहले लिखा जाता है। और कई ऐसे नंबरों के साथ कार्रवाई करते समय भ्रमित हो जाते हैं। वास्तव में, वही नियम यहां लागू होते हैं।
मिश्रित संख्याओं को एक साथ जोड़ने के लिए, पूर्ण भागों और उचित भिन्नों को अलग-अलग जोड़ें। और फिर इन 2 परिणामों को पहले ही सम्मिलित कर दिया गया है। व्यवहार में, सब कुछ बहुत सरल है, आपको बस थोड़ा अभ्यास करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, किसी समस्या में आपको निम्नलिखित मिश्रित संख्याओं को जोड़ना होगा: 11/3 और 42 / 5। ऐसा करने के लिए, पहले 5 प्राप्त करने के लिए 1 और 4 जोड़ें। फिर कम से कम सामान्य हर तकनीक का उपयोग करके 1/3 और 2/5 जोड़ें। फैसला 11/15 होगा। और अंतिम उत्तर है 511/15। एक स्कूल नोटबुक में यह बहुत कुछ दिखाई देगासंक्षेप में:
11/3 + 42/5=(1 + 4) + (1/3 + 2/5)=5 + 5/15 + 6/15=5 + 11/15=511/ 15।
दशमलव जोड़ना
साधारण भिन्नों के अतिरिक्त दशमलव भी होते हैं। वैसे, वे जीवन में बहुत अधिक सामान्य हैं। उदाहरण के लिए, स्टोर में कीमत अक्सर इस तरह दिखती है: 20.3 रूबल। यह वही अंश है। बेशक, इन्हें सामान्य लोगों की तुलना में मोड़ना बहुत आसान है। सिद्धांत रूप में, आपको केवल 2 साधारण संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है, सबसे महत्वपूर्ण बात, सही जगह पर अल्पविराम लगाएं। यहीं से कठिनाई आती है।
उदाहरण के लिए, आपको दशमलव भिन्न 2, 5 और 0, 56 जोड़ने की आवश्यकता है। इसे सही ढंग से करने के लिए, आपको अंत में पहले में शून्य जोड़ना होगा, और सब कुछ ठीक हो जाएगा।
2, 50 + 0, 56=3, 06.
यह जानना महत्वपूर्ण है कि किसी भी दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में बदला जा सकता है, लेकिन प्रत्येक साधारण भिन्न को दशमलव के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। तो, हमारे उदाहरण 2, 5=21/2 और 0, 56=14/25 से। लेकिन 1/6 जैसी भिन्न केवल 0, 16667 के लगभग बराबर होगी। यही स्थिति अन्य समान संख्याओं - 2/7, 1/9 इत्यादि के साथ भी होगी।
निष्कर्ष
कई स्कूली बच्चे, भिन्नों के साथ क्रियाओं के व्यावहारिक पक्ष को न समझकर, इस विषय को लापरवाही से लेते हैं। हालांकि, पुराने ग्रेड में, यह बुनियादी ज्ञान आपको लघुगणक के साथ जटिल उदाहरणों पर पागल की तरह क्लिक करने और डेरिवेटिव खोजने की अनुमति देगा। और इसलिए, यह एक बार अंशों के साथ क्रियाओं को अच्छी तरह से समझने के लायक है, ताकि बाद में आप अपनी कोहनी को झुंझलाहट से न काटें। आखिर हाई स्कूल में शायद ही कोई शिक्षक होइस पर वापस आ जाएगा, पहले से ही पारित, विषय। हाई स्कूल का कोई भी छात्र इन अभ्यासों को करने में सक्षम होना चाहिए।
