स्टीरियोमेट्री त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृतियों की विशेषताओं का अध्ययन है। ज्यामिति की समस्याओं में प्रकट होने वाले प्रसिद्ध वॉल्यूमेट्रिक आंकड़ों में से एक सीधा प्रिज्म है। आइए इस लेख में विचार करें कि यह क्या है, और त्रिकोणीय आधार वाले प्रिज्म का भी विस्तार से वर्णन करें।
प्रिज्म और उसके प्रकार
एक प्रिज्म एक आकृति है जो अंतरिक्ष में एक बहुभुज के समानांतर अनुवाद के परिणामस्वरूप बनती है। इस ज्यामितीय ऑपरेशन के परिणामस्वरूप, एक आकृति बनती है, जिसमें कई समांतर चतुर्भुज और एक दूसरे के समानांतर दो समान बहुभुज होते हैं। समांतर चतुर्भुज प्रिज्म की भुजाएँ हैं, और बहुभुज इसके आधार हैं।
किसी भी प्रिज्म में n+2 भुजाएँ, 3n किनारे और 2n शीर्ष होते हैं, जहाँ n बहुभुज आधार के कोनों या भुजाओं की संख्या होती है। छवि एक पंचकोणीय प्रिज्म दिखाती है जिसमें 7 भुजाएँ, 10 शीर्ष और 15 किनारे हैं।
आकृतियों का माना वर्ग कई प्रकार के प्रिज्मों द्वारा दर्शाया जाता है।हम उन्हें संक्षेप में सूचीबद्ध करते हैं:
- अवतल और उत्तल;
- तिरछा और सीधा;
- गलत और सही।
प्रत्येक आंकड़ा सूचीबद्ध तीन प्रकार के वर्गीकरण में से एक से संबंधित है। ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, नियमित और सीधे प्रिज्म के लिए गणना करना सबसे आसान होता है। उत्तरार्द्ध पर लेख के निम्नलिखित पैराग्राफ में अधिक विस्तार से चर्चा की जाएगी।
सीधा प्रिज्म क्या है?
एक सीधा प्रिज्म एक अवतल या उत्तल, नियमित या अनियमित प्रिज्म होता है, जिसमें सभी पक्षों को 90° कोणों वाले चतुर्भुजों द्वारा दर्शाया जाता है। यदि भुजाओं के कम से कम एक चतुर्भुज आयत या वर्ग नहीं है, तो प्रिज्म को तिरछा कहा जाता है। एक अन्य परिभाषा भी दी जा सकती है: एक सीधा प्रिज्म किसी दिए गए वर्ग का ऐसा आंकड़ा है जिसमें कोई भी किनारे की ऊंचाई ऊंचाई के बराबर होती है। प्रिज्म की ऊँचाई h के अंतर्गत, इसके आधारों के बीच की दूरी मान ली जाती है।
दी गई परिभाषाओं में से यह एक प्रत्यक्ष प्रिज्म है, दोनों समान और आत्मनिर्भर हैं। इससे यह पता चलता है कि किसी भी आधार और प्रत्येक भुजा के बीच के सभी विकर्ण कोण 90° हैं।
ऊपर कहा गया था कि समस्याओं को हल करते समय सीधे आंकड़ों के साथ काम करना सुविधाजनक होता है। यह इस तथ्य के कारण है कि ऊंचाई साइड रिब की लंबाई से मेल खाती है। बाद वाला तथ्य किसी आकृति के आयतन और उसकी पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना की प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाता है।
प्रत्यक्ष प्रिज्म का आयतन
वॉल्यूम - किसी भी स्थानिक आकृति में निहित एक मूल्य, जो संख्यात्मक रूप से माना की सतहों के बीच संलग्न स्थान के हिस्से को दर्शाता हैवस्तु। एक प्रिज्म के आयतन की गणना निम्नलिखित सामान्य सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
वी=एसओएच.
अर्थात ऊंचाई का गुणनफल और आधार का क्षेत्रफल वांछित मान V देगा। चूंकि एक सीधे प्रिज्म के आधार बराबर होते हैं, तो क्षेत्रफल So निर्धारित करने के लिए आप इनमें से कोई भी ले सकते हैं।
अपने अन्य प्रकारों की तुलना में विशेष रूप से सीधे प्रिज्म के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करने का लाभ यह है कि आकृति की ऊंचाई का पता लगाना बहुत आसान है, क्योंकि यह किनारे के किनारे की लंबाई के साथ मेल खाता है।
साइड एरिया
विचाराधीन वर्ग के सीधे आंकड़े के लिए न केवल मात्रा की गणना करना सुविधाजनक है, बल्कि इसकी पार्श्व सतह भी है। दरअसल, इसकी कोई भी भुजा या तो एक आयत है या एक वर्ग। प्रत्येक विद्यार्थी इन समतल आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना करना जानता है, इसके लिए आसन्न भुजाओं को एक दूसरे से गुणा करना आवश्यक है।
मान लें कि प्रिज्म का आधार एक मनमाना एन-गॉन है जिसकी भुजाएँ एक i के बराबर हैं। इंडेक्स I 1 से n तक चलता है। एक आयत के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:
एसमैं=एमैंएच.
पार्श्व सतह Sb का क्षेत्रफल गणना करना आसान है यदि आप सभी क्षेत्रों Si आयतों को जोड़ते हैं। इस मामले में, हमें Sbसीधे प्रिज्म के लिए अंतिम सूत्र मिलता है:
एसबी=एच∑i=1(एकमैं)=एचपीओ.
इस प्रकार, एक सीधे प्रिज्म के लिए पार्श्व सतह क्षेत्र निर्धारित करने के लिए, आपको इसकी ऊंचाई को एक आधार की परिधि से गुणा करना होगा।
त्रिकोणीय प्रिज्म की समस्या
मान लें कि एक सीधा प्रिज्म दिया गया है। आधार एक समकोण त्रिभुज है। इस त्रिभुज की टाँगें 12 सेमी और 8 सेमी हैं। यदि प्रिज्म की ऊंचाई 15 सेमी है, तो आकृति का आयतन और उसके कुल क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है।
पहले, एक सीधे प्रिज्म के आयतन की गणना करते हैं। इसके आधारों पर स्थित त्रिभुज (आयताकार) का क्षेत्रफल है:
एसओ=ए1ए2/2=128/2=48सेमी2.
जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, a1 और a2 इस समीकरण में पैर हैं। आधार क्षेत्रफल और ऊँचाई (समस्या की स्थिति देखें) जानने के बाद, आप V के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
V=Soh=4815=720cm3।
आकृति का कुल क्षेत्रफल दो भागों से बनता है: आधारों का क्षेत्रफल और पार्श्व सतह। दो आधारों के क्षेत्र हैं:
S2o=2So=482=96cm2 ।
पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको एक समकोण त्रिभुज की परिधि जानने की आवश्यकता है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा इसके कर्ण की गणना करें 3, हमारे पास है:
a3 =(a12+ a2 2)=√(122+ 82)=14.42 सेमी।
तब दाहिने प्रिज्म के आधार के त्रिभुज का परिमाप होगा:
P=a1+ a2+ a3=12 + 8 + 14, 42=34, 42 सेमी.
Sb के लिए सूत्र लागू करना, जो पिछले पैराग्राफ में लिखा गया था,प्राप्त करें:
Sb=hP=1534, 42=516, 3 सेमी.
S2o और Sb के क्षेत्रों को जोड़ने पर, हमें अध्ययन की गई ज्यामितीय आकृति का कुल सतह क्षेत्र मिलता है:
S=S2o+ Sb=96 + 516, 3=612, 3cm2.
एक त्रिकोणीय प्रिज्म, जो विशेष प्रकार के कांच से बना होता है, प्रकाश-उत्सर्जक वस्तुओं के स्पेक्ट्रम का अध्ययन करने के लिए प्रकाशिकी में प्रयोग किया जाता है। ऐसे प्रिज्म परिक्षेपण की परिघटना के कारण प्रकाश को घटक आवृत्तियों में विघटित करने में सक्षम होते हैं।
