पदार्थ की गैस समुच्चय अवस्था के गुणों का अध्ययन आधुनिक भौतिकी के महत्वपूर्ण क्षेत्रों में से एक है। सूक्ष्म पैमाने पर गैसों को ध्यान में रखते हुए, सिस्टम के सभी मैक्रोस्कोपिक मापदंडों को प्राप्त किया जा सकता है। यह लेख गैसों के आणविक गतिज सिद्धांत के एक महत्वपूर्ण मुद्दे को प्रकट करेगा: वेग के संदर्भ में अणुओं का मैक्सवेल वितरण क्या है।
ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
सूक्ष्म गतिमान कणों की एक प्रणाली के रूप में गैस के विचार की उत्पत्ति प्राचीन ग्रीस में हुई थी। विज्ञान को इसे विकसित करने में 1700 से अधिक वर्षों का समय लगा।
गैस के आधुनिक आणविक-गतिज सिद्धांत (एमकेटी) के संस्थापक डेनियल बर्नौली पर विचार करना उचित है। 1738 में उन्होंने "हाइड्रोडायनामिक्स" नामक एक काम प्रकाशित किया। इसमें, बर्नौली ने एमकेटी के विचारों को रेखांकित किया जो आज तक इस्तेमाल किए गए हैं। तो, वैज्ञानिक का मानना था कि गैसें कणों से बनी होती हैं जो सभी दिशाओं में बेतरतीब ढंग से चलती हैं। कई टक्करपोत की दीवारों वाले कणों को गैसों में दबाव की उपस्थिति के रूप में माना जाता है। कण वेग प्रणाली के तापमान से निकटता से संबंधित हैं। वैज्ञानिक समुदाय ने बर्नौली के साहसिक विचारों को स्वीकार नहीं किया क्योंकि ऊर्जा संरक्षण का नियम अभी तक स्थापित नहीं हुआ था।
बाद में, कई वैज्ञानिक गैसों के गतिज मॉडल के निर्माण में लगे हुए थे। उनमें से, रूडोल्फ क्लॉसियस को ध्यान दिया जाना चाहिए, जिन्होंने 1857 में एक साधारण गैस मॉडल बनाया था। इसमें, वैज्ञानिकों ने अणुओं में स्वतंत्रता की अनुवादकीय, घूर्णी और कंपन डिग्री की उपस्थिति पर विशेष ध्यान दिया।
1859 में, क्लॉसियस के काम का अध्ययन करते हुए, जेम्स मैक्सवेल ने आणविक वेगों पर तथाकथित मैक्सवेल वितरण तैयार किया। वास्तव में, मैक्सवेल ने एमकेटी के विचारों की पुष्टि की, उन्हें गणितीय उपकरण के साथ समर्थन दिया। इसके बाद, लुडविग बोल्ट्जमैन (1871) ने मैक्सवेल वितरण के निष्कर्षों को सामान्यीकृत किया। उन्होंने वेगों और ऊर्जाओं पर अणुओं के अधिक सामान्य सांख्यिकीय वितरण की परिकल्पना की। इसे वर्तमान में मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वितरण के रूप में जाना जाता है।
आदर्श गैस। आईएलसी के मूल अभिधारणा
मैक्सवेल वितरण फ़ंक्शन क्या है यह समझने के लिए, आपको उन प्रणालियों को स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है जिनके लिए यह फ़ंक्शन लागू है। हम बात कर रहे हैं एक आदर्श गैस की। भौतिकी में, इस अवधारणा को एक द्रव पदार्थ के रूप में समझा जाता है, जिसमें व्यावहारिक रूप से आयामहीन कण होते हैं जिनमें संभावित ऊर्जा नहीं होती है। ये कण तेज गति से चलते हैं, इसलिए उनका व्यवहार पूरी तरह से गतिज ऊर्जा से निर्धारित होता है। इसके अलावा, कणों के बीच की दूरी बहुत अधिक हैउनके आकार की तुलना में, इसलिए बाद वाले उपेक्षित हैं।
एमकेटी में आदर्श गैसों का वर्णन किया गया है। इसकी मुख्य अभिधारणाएं इस प्रकार हैं:
- गैस प्रणाली बड़ी संख्या में मुक्त कणों से बनी होती है;
- कण सीधे प्रक्षेप पथ के साथ अलग-अलग दिशाओं में अलग-अलग गति से बेतरतीब ढंग से चलते हैं;
- कण पोत की दीवारों से तेजी से टकराते हैं (कणों के आपस में टकराने की संभावना उनके छोटे आकार के कारण कम होती है);
- सिस्टम का तापमान विशिष्ट रूप से कणों की औसत गतिज ऊर्जा द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो सिस्टम में थर्मोडायनामिक संतुलन स्थापित होने पर समय पर संरक्षित रहता है।
मैक्सवेल का वितरण कानून
यदि किसी व्यक्ति के पास कोई ऐसा उपकरण हो जिससे एक गैस के एक अणु की गति को मापना संभव हो, तो एक उपयुक्त प्रयोग करके वह आश्चर्यचकित हो जाता। प्रयोग से पता चलता है कि किसी भी गैसीय प्रणाली का प्रत्येक अणु पूरी तरह से मनमानी गति से चलता है। इस मामले में, पर्यावरण के साथ थर्मल संतुलन में एक प्रणाली के ढांचे के भीतर, बहुत धीमी और बहुत तेज अणुओं का पता लगाया जाएगा।
गैस अणुओं के वेग वितरण का मैक्सवेल का नियम एक उपकरण है जो आपको अध्ययन के तहत प्रणाली में दिए गए वेग v के साथ कणों का पता लगाने की संभावना निर्धारित करने की अनुमति देता है। संबंधित फ़ंक्शन इस तरह दिखता है:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
इस अभिव्यक्ति में, म -कण (अणु) द्रव्यमान, k - बोल्ट्जमैन का स्थिरांक, T - निरपेक्ष तापमान। इस प्रकार, यदि कणों की रासायनिक प्रकृति (m का मान) ज्ञात है, तो फलन f(v) विशिष्ट रूप से निरपेक्ष तापमान द्वारा निर्धारित किया जाता है। फलन f(v) को प्रायिकता घनत्व कहते हैं। यदि हम कुछ गति सीमा (v; v+dv) के लिए इसका समाकलन लेते हैं, तो हमें कणों की संख्या Ni प्राप्त होती है, जिनकी गति निर्दिष्ट अंतराल में होती है। तदनुसार, यदि हम 0 से तक वेग सीमा के लिए प्रायिकता घनत्व f(v) का समाकल लेते हैं, तो हमें निकाय में अणुओं की कुल संख्या N प्राप्त होती है।
संभाव्यता घनत्व का ग्राफिक प्रतिनिधित्व f(v)
संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का गणितीय रूप कुछ जटिल है, इसलिए किसी दिए गए तापमान पर इसके व्यवहार का प्रतिनिधित्व करना आसान नहीं है। यदि आप इसे द्वि-आयामी ग्राफ़ पर चित्रित करते हैं तो इस समस्या को हल किया जा सकता है। मैक्सवेल वितरण ग्राफ का एक योजनाबद्ध दृश्य नीचे चित्र में दिखाया गया है।
हम देखते हैं कि यह शून्य से शुरू होता है, क्योंकि अणुओं के वेग v में ऋणात्मक मान नहीं हो सकते हैं। ग्राफ उच्च गति के क्षेत्र में कहीं समाप्त होता है, आसानी से शून्य (f(∞)->0) तक गिर जाता है। निम्नलिखित विशेषता भी हड़ताली है: चिकनी वक्र असममित है, यह छोटी गति के लिए अधिक तेजी से घटती है।
संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन f(v) के व्यवहार की एक महत्वपूर्ण विशेषता उस पर एक उच्चारित अधिकतम की उपस्थिति है। फ़ंक्शन के भौतिक अर्थ के अनुसार, यह अधिकतम गैस में अणुओं के वेगों के सबसे संभावित मूल्य से मेल खाता हैप्रणाली।
फ़ंक्शन f(v) के लिए महत्वपूर्ण गति
संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन f(v) और इसका ग्राफिक प्रतिनिधित्व हमें तीन महत्वपूर्ण प्रकार की गति को परिभाषित करने की अनुमति देता है।
पहली तरह की गति जो स्पष्ट है और जिसका उल्लेख ऊपर किया गया था, सबसे संभावित गति v1 है। ग्राफ़ पर, इसका मान अधिकतम फलन f(v) से मेल खाता है। यह गति और इसके करीब के मूल्य हैं जिनमें सिस्टम के अधिकांश कण होंगे। इसकी गणना करना मुश्किल नहीं है, इसके लिए फ़ंक्शन f (v) की गति के संबंध में पहला व्युत्पन्न लेना और इसे शून्य के बराबर करना पर्याप्त है। इन गणितीय संक्रियाओं के परिणामस्वरूप, हमें अंतिम परिणाम मिलता है:
v1=√(2आरटी/एम).
यहाँ R सार्वत्रिक गैस नियतांक है, M अणुओं का मोलर द्रव्यमान है।
दूसरी तरह की गति सभी N कणों के लिए इसका औसत मान है। आइए इसे v2 निरूपित करें। इसकी गणना सभी वेगों पर फ़ंक्शन vf(v) को एकीकृत करके की जा सकती है। विख्यात एकीकरण का परिणाम निम्न सूत्र होगा:
v2=(8RT/(piM)).
क्योंकि अनुपात 8/pi>2 है, औसत गति हमेशा सबसे संभावित गति से थोड़ी अधिक होती है।
भौतिकी के बारे में थोड़ा-बहुत जानने वाला हर कोई समझता है कि गैस प्रणाली में अणुओं का औसत वेग v2 बहुत महत्वपूर्ण होना चाहिए। हालाँकि, यह एक गलत धारणा है। आरएमएस की गति बहुत अधिक महत्वपूर्ण है। आइए इसे निरूपित करेंवी3.
परिभाषा के अनुसार, मूल-माध्य-वर्ग वेग सभी कणों के अलग-अलग वेगों के वर्गों का योग है, इन कणों की संख्या से विभाजित, और वर्गमूल के रूप में लिया जाता है। मैक्सवेल वितरण के लिए इसकी गणना की जा सकती है यदि हम फ़ंक्शन v2f(v) के सभी वेगों पर इंटीग्रल को परिभाषित करते हैं। औसत द्विघात गति का सूत्र रूप लेगा:
v3=(3आरटी/एम).
समानता दर्शाती है कि यह गति किसी भी गैस प्रणाली के लिए v2 और v1 से अधिक है।
इस प्रकार, मैक्सवेल वितरण ग्राफ पर सभी प्रकार के वेगों को या तो चरम पर या इसके दाईं ओर स्थित माना जाता है।
v3 का महत्व
यह ऊपर उल्लेख किया गया था कि औसत वर्ग वेग साधारण औसत वेग v2 की तुलना में गैस प्रणाली की भौतिक प्रक्रियाओं और गुणों को समझने के लिए अधिक महत्वपूर्ण है। यह सच है, क्योंकि एक आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा निश्चित रूप से v3 पर निर्भर करती है, न कि v2 पर।
यदि हम एक अणुपरमाणुक आदर्श गैस पर विचार करें, तो उसके लिए निम्नलिखित व्यंजक सत्य है:
mv32/2=3/2kT.
यहाँ, समीकरण का प्रत्येक भाग m द्रव्यमान के एक कण की गतिज ऊर्जा को निरूपित करता है। व्यंजक में ठीक मान v3 क्यों है, न कि औसत गति v2? बहुत सरल: प्रत्येक कण की गतिज ऊर्जा का निर्धारण करते समय, उसका व्यक्तिगत वेग v वर्ग होता है, फिर सभी वेगN कणों की संख्या से जोड़ा और विभाजित किया जाता है। अर्थात, गतिज ऊर्जा के निर्धारण की प्रक्रिया से ही माध्य वर्ग वेग का मान प्राप्त होता है।
तापमान पर फलन f(v) की निर्भरता
हमने ऊपर स्थापित किया है कि आणविक वेगों का संभाव्यता घनत्व विशिष्ट रूप से तापमान पर निर्भर करता है। यदि T को बढ़ाया या घटाया जाए तो फलन कैसे बदलेगा? नीचे दिया गया चार्ट इस प्रश्न का उत्तर देने में मदद करेगा।
यह देखा जा सकता है कि बंद सिस्टम के गर्म होने से शिखर पर धब्बा लग जाता है और यह उच्च गति की ओर शिफ्ट हो जाता है। तापमान में वृद्धि से सभी प्रकार के वेगों में वृद्धि होती है और उनमें से प्रत्येक के प्रायिकता घनत्व में कमी आती है। एक बंद प्रणाली में कणों की संख्या N के संरक्षण के कारण शिखर मूल्य घट जाता है।
अगला, हम प्राप्त सैद्धांतिक सामग्री को समेकित करने के लिए कुछ समस्याओं का समाधान करेंगे।
हवा में नाइट्रोजन के अणुओं की समस्या
गति की गणना करना आवश्यक है v1, v2 और v3 300 K (लगभग 27 oC) के तापमान पर वायु नाइट्रोजन के लिए।
नाइट्रोजन का दाढ़ द्रव्यमान N2 28 g/mol है। उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
v1=√(2आरटी/एम)=√(28, 314300/0, 028)=422 मी/से;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 मी/से;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 मी/से.
ऑक्सीजन टैंक की समस्या
सिलेंडर में ऑक्सीजन एक निश्चित तापमान T1 पर थी। फिर गुब्बारे को ठंडे कमरे में रख दिया गया। जब सिस्टम थर्मोडायनामिक संतुलन में आता है तो ऑक्सीजन अणुओं के लिए मैक्सवेल वेग वितरण प्लॉट कैसे बदलेगा?
सिद्धांत को याद करते हुए, हम समस्या के प्रश्न का उत्तर इस तरह से दे सकते हैं: अणुओं के सभी प्रकार के वेगों के मान कम हो जाएंगे, फ़ंक्शन का शिखर f(v) बाईं ओर शिफ्ट हो जाएगा, संकरा और ऊँचा हो जाना।
