उलटा कार्य। सिद्धांत और अनुप्रयोग

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

गणित में, प्रतिलोम फलन परस्पर संगत व्यंजक होते हैं जो एक दूसरे में बदल जाते हैं। इसका अर्थ समझने के लिए, यह एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करने योग्य है। मान लीजिए कि हमारे पास y=cos(x) है। यदि हम तर्क से कोज्या लेते हैं, तो हम y का मान ज्ञात कर सकते हैं। जाहिर है, इसके लिए आपके पास x होना चाहिए। लेकिन क्या होगा अगर खिलाड़ी को शुरू में दिया जाए? यहीं से बात मामले की तह तक जाती है। समस्या को हल करने के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन के उपयोग की आवश्यकता होती है। हमारे मामले में, यह चाप कोसाइन है।

सभी परिवर्तनों के बाद, हमें मिलता है: x=arccos(y).

अर्थात, किसी दिए गए फ़ंक्शन के विपरीत फ़ंक्शन को खोजने के लिए, केवल उससे एक तर्क व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है। लेकिन यह तभी काम करता है जब परिणाम का एक ही मान होगा (उस पर बाद में)।

सामान्य शब्दों में, इस तथ्य को इस प्रकार लिखा जा सकता है: f(x)=y, g(y)=x.

परिभाषा

चलो f एक ऐसा फलन है जिसका डोमेन समुच्चय X है, औरमानों की श्रेणी सेट Y है। फिर, यदि कोई g मौजूद है जिसके डोमेन विपरीत कार्य करते हैं, तो f प्रतिवर्ती है।

इसके अलावा, इस मामले में जी अद्वितीय है, जिसका अर्थ है कि वास्तव में एक ऐसा कार्य है जो इस संपत्ति को संतुष्ट करता है (अधिक नहीं, कम नहीं)। फिर इसे व्युत्क्रम फ़ंक्शन कहा जाता है, और लिखित रूप में इसे निम्नानुसार दर्शाया जाता है: g(x)=f ^-1(x).

दूसरे शब्दों में, उन्हें एक द्विआधारी संबंध के रूप में देखा जा सकता है। उत्क्रमणीयता तभी होती है जब समुच्चय का एक अवयव दूसरे से एक मान से मेल खाता हो।

हमेशा उलटा कार्य नहीं होता है। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक तत्व y Y को अधिकतम एक x X के अनुरूप होना चाहिए। फिर f को एक-से-एक या इंजेक्शन कहा जाता है। यदि f ^-1 Y से संबंधित है, तो इस सेट के प्रत्येक तत्व को कुछ x X के अनुरूप होना चाहिए। इस संपत्ति के साथ कार्य को अनुमान कहा जाता है। यह परिभाषा के अनुसार है यदि Y एक छवि f है, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है। उलटा होने के लिए, एक फ़ंक्शन इंजेक्शन और प्रक्षेपण दोनों होना चाहिए। ऐसे भावों को आक्षेप कहा जाता है।

उदाहरण: वर्ग और मूल कार्य

फ़ंक्शन को [0,) पर परिभाषित किया गया है और सूत्र f (x)=x² द्वारा दिया गया है।

तब यह इंजेक्शन नहीं है, क्योंकि हर संभव परिणाम Y (0 को छोड़कर) दो अलग-अलग X से मेल खाता है - एक सकारात्मक और एक नकारात्मक, इसलिए यह प्रतिवर्ती नहीं है। इस मामले में, प्राप्त लोगों से प्रारंभिक डेटा प्राप्त करना असंभव होगा, जो विरोधाभासी हैसिद्धांत यह बिना इंजेक्शन वाला होगा।

यदि परिभाषा का क्षेत्र सशर्त रूप से गैर-ऋणात्मक मूल्यों तक सीमित है, तो सब कुछ पहले की तरह काम करेगा। तब यह विशेषण है और इसलिए उलटा है। यहाँ प्रतिलोम फलन धनात्मक कहलाता है।

प्रवेश पर ध्यान दें

मान दें कि पदनाम f ^-1 (x) किसी व्यक्ति को भ्रमित कर सकता है, लेकिन किसी भी स्थिति में इसका उपयोग इस तरह नहीं किया जाना चाहिए: (f (x)) ^{- 1} । यह एक पूरी तरह से अलग गणितीय अवधारणा को संदर्भित करता है और इसका उलटा कार्य से कोई लेना-देना नहीं है।

एक सामान्य नियम के रूप में, कुछ लेखक पाप^-1 (x) जैसे भावों का उपयोग करते हैं।

हालांकि, अन्य गणितज्ञों का मानना है कि इससे भ्रम की स्थिति पैदा हो सकती है। ऐसी कठिनाइयों से बचने के लिए, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को अक्सर उपसर्ग "आर्क" (लैटिन चाप से) के साथ दर्शाया जाता है। हमारे मामले में, हम आर्क्सिन के बारे में बात कर रहे हैं। आप कभी-कभी कुछ अन्य कार्यों के लिए उपसर्ग "ar" या "inv" भी देख सकते हैं।