द्वितीय क्रम की सतहें: उदाहरण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

छात्र का अक्सर प्रथम वर्ष में दूसरे क्रम की सतहों का सामना करना पड़ता है। सबसे पहले, इस विषय पर कार्य सरल लग सकते हैं, लेकिन जैसे-जैसे आप उच्च गणित का अध्ययन करते हैं और वैज्ञानिक पक्ष में गहराई से जाते हैं, अंत में आप जो हो रहा है उसमें खुद को उन्मुख करना बंद कर सकते हैं। ऐसा होने से रोकने के लिए, न केवल याद रखना आवश्यक है, बल्कि यह समझने के लिए कि यह या वह सतह कैसे प्राप्त की जाती है, मूल समन्वय प्रणाली के सापेक्ष गुणांक इसे और उसके स्थान को कैसे प्रभावित करता है, और एक नई प्रणाली कैसे खोजें (एक जिसमें इसका केंद्र मूल निर्देशांक के साथ मेल खाता है, और समरूपता अक्ष समन्वय अक्षों में से एक के समानांतर है)। चलिए शुरू से शुरू करते हैं।

परिभाषा

GMT को दूसरे क्रम की सतह कहा जाता है, जिसके निर्देशांक निम्नलिखित रूप के सामान्य समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

F(x, y, z)=0.

यह स्पष्ट है कि सतह से संबंधित प्रत्येक बिंदु में किसी निश्चित आधार पर तीन निर्देशांक होने चाहिए। हालांकि कुछ मामलों में बिंदुओं का स्थान पतित हो सकता है, उदाहरण के लिए, एक विमान में। इसका केवल यही अर्थ है कि निर्देशांकों में से एक स्थिर है और स्वीकार्य मानों की संपूर्ण श्रेणी में शून्य के बराबर है।

उपरोक्त वर्णित समानता का पूर्ण चित्रित रूप इस तरह दिखता है:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm - कुछ स्थिरांक, x, y, z - किसी बिंदु के एफ़िन निर्देशांक के संगत चर। इस मामले में, स्थिर कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, अर्थात कोई भी बिंदु समीकरण के अनुरूप नहीं होगा।}

अधिकांश उदाहरणों में, कई संख्यात्मक कारक अभी भी समान रूप से शून्य के बराबर हैं, और समीकरण बहुत सरल है। व्यवहार में, यह निर्धारित करना कि क्या कोई बिंदु सतह से संबंधित है, मुश्किल नहीं है (यह समीकरण में इसके निर्देशांक को प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है और यह जांचता है कि पहचान देखी गई है या नहीं)। इस तरह के काम में मुख्य बिंदु बाद वाले को विहित रूप में लाना है।

ऊपर लिखा गया समीकरण दूसरे क्रम के किसी भी (सभी नीचे सूचीबद्ध) सतहों को परिभाषित करता है। हम नीचे उदाहरणों पर विचार करेंगे।

द्वितीय क्रम की सतहों के प्रकार

द्वितीय क्रम की सतहों के समीकरण केवल गुणांक A_{nm के मानों में भिन्न होते हैं। सामान्य दृष्टिकोण से, स्थिरांक के कुछ मूल्यों के लिए, विभिन्न सतहें प्राप्त की जा सकती हैं, जिन्हें निम्नानुसार वर्गीकृत किया गया है:}

1. सिलेंडर।
2. अण्डाकार प्रकार।
3. अतिशयोक्तिपूर्ण प्रकार।
4. शंक्वाकार प्रकार।
5. परवलयिक प्रकार।
6. विमान।

प्रत्येक सूचीबद्ध प्रकार का एक प्राकृतिक और काल्पनिक रूप होता है: काल्पनिक रूप में, वास्तविक बिंदुओं का स्थान या तो एक सरल आकृति में बदल जाता है, या पूरी तरह से अनुपस्थित होता है।

सिलेंडर

यह सबसे सरल प्रकार है, क्योंकि अपेक्षाकृत जटिल वक्र केवल आधार पर स्थित होता है, एक मार्गदर्शक के रूप में कार्य करता है। जनरेटर उस तल के लंबवत सीधी रेखाएँ हैं जिसमें आधार स्थित है।

ग्राफ एक गोलाकार सिलेंडर दिखाता है, एक अंडाकार सिलेंडर का एक विशेष मामला। XY विमान में, इसका प्रक्षेपण एक दीर्घवृत्त होगा (हमारे मामले में, एक वृत्त) - एक गाइड, और XZ में - एक आयत - चूंकि जनरेटर Z अक्ष के समानांतर हैं। इसे सामान्य समीकरण से प्राप्त करने के लिए, आपको चाहिए गुणांकों को निम्नलिखित मान देने के लिए:

सामान्य प्रतीकों के बजाय x, y, z, x एक सीरियल नंबर के साथ प्रयोग किया जाता है - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

वास्तव में, 1/a2और यहां दर्शाए गए अन्य स्थिरांक सामान्य समीकरण में दर्शाए गए समान गुणांक हैं, लेकिन उन्हें इस रूप में लिखने की प्रथा है - यह है विहित प्रतिनिधित्व। इसके अलावा, केवल ऐसे अंकन का उपयोग किया जाएगा।

अतिशयोक्तिपूर्ण सिलेंडर को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है। योजना वही है - अतिशयोक्ति मार्गदर्शक होगी।

y2=2px

एक परवलयिक सिलेंडर को कुछ अलग तरीके से परिभाषित किया गया है: इसके विहित रूप में एक गुणांक p शामिल है, जिसे एक पैरामीटर कहा जाता है। वास्तव में, गुणांक q=2p के बराबर है, लेकिन इसे प्रस्तुत किए गए दो कारकों में विभाजित करने की प्रथा है।

सिलेंडर का एक और प्रकार है: काल्पनिक। ऐसे बेलन का कोई वास्तविक बिंदु नहीं है। यह समीकरण द्वारा वर्णित हैअण्डाकार सिलेंडर, लेकिन इकाई के बजाय -1 है।

अण्डाकार प्रकार

एक दीर्घवृत्त को अक्षों में से एक के साथ बढ़ाया जा सकता है (जिसके साथ यह ऊपर बताए गए स्थिरांक a, b, c के मानों पर निर्भर करता है; यह स्पष्ट है कि एक बड़ा गुणांक बड़े अक्ष के अनुरूप होगा).

एक काल्पनिक दीर्घवृत्त भी है - बशर्ते कि गुणांकों द्वारा गुणा किए गए निर्देशांक का योग -1: हो

हाइपरबोलॉइड

जब किसी एक स्थिरांक में ऋणात्मक दिखाई देता है, तो दीर्घवृत्ताभ समीकरण एकल-पत्रक वाले अतिपरवलयज के समीकरण में बदल जाता है। यह समझा जाना चाहिए कि यह ऋण x₃ निर्देशांक से पहले स्थित नहीं होना चाहिए! यह केवल यह निर्धारित करता है कि कौन सी कुल्हाड़ी अतिपरवलयज (या इसके समानांतर) के घूर्णन की धुरी होगी, क्योंकि जब वर्ग में अतिरिक्त पद दिखाई देते हैं (उदाहरण के लिए, (x-2)^{2) आकृति का केंद्र बदल जाता है, परिणामस्वरूप, सतह निर्देशांक अक्षों के समानांतर चलती है)। यह दूसरे क्रम की सभी सतहों पर लागू होता है।}

इसके अलावा, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि समीकरण विहित रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं और उन्हें स्थिरांक (संकेत संरक्षित के साथ) बदलकर बदला जा सकता है; जबकि उनका रूप (हाइपरबोलॉइड, शंकु, इत्यादि) वही रहेगा।

यह समीकरण पहले से ही दो शीट वाले अतिपरवलयज द्वारा दिया गया है।

शंक्वाकार सतह

शंकु समीकरण में कोई इकाई नहीं है - शून्य के बराबर।

केवल एक बंधी हुई शंक्वाकार सतह को शंकु कहा जाता है। नीचे दी गई तस्वीर से पता चलता है कि, वास्तव में, चार्ट पर दो तथाकथित शंकु होंगे।

महत्वपूर्ण नोट: सभी विहित समीकरणों में, स्थिरांक को डिफ़ॉल्ट रूप से सकारात्मक लिया जाता है। अन्यथा, चिन्ह अंतिम चार्ट को प्रभावित कर सकता है।

निर्देशांक तल शंकु के सममिति के तल बन जाते हैं, सममिति का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित होता है।

काल्पनिक शंकु समीकरण में केवल प्लसस हैं; यह एक ही वास्तविक बिंदु का स्वामी है।

पैराबोलॉइड

अंतरिक्ष में दूसरे क्रम के पृष्ठ समान समीकरणों के साथ भी अलग-अलग आकार ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, पैराबोलॉइड दो प्रकार के होते हैं।

x²/a²+y²/b^2=2z

एक अण्डाकार परवलयिक, जब Z अक्ष रेखाचित्र के लंबवत होता है, एक दीर्घवृत्त में प्रक्षेपित किया जाएगा।

x²/a²-y²/b^2=2z

हाइपरबॉलिक परवलयिक: ZY के समानांतर विमानों वाले खंड परवलय उत्पन्न करेंगे, और XY के समानांतर विमानों वाले खंड अतिपरवलय उत्पन्न करेंगे।

अंतर्विभाजक विमान

ऐसे मामले होते हैं जब दूसरे क्रम की सतहें एक समतल में बदल जाती हैं। इन विमानों को विभिन्न तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।

पहले प्रतिच्छेद करने वाले विमानों पर विचार करें:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

विहित समीकरण के इस संशोधन के परिणामस्वरूप केवल दो प्रतिच्छेदी तल (काल्पनिक!); सभी वास्तविक बिंदु निर्देशांक की धुरी पर हैं जो समीकरण में गायब है (विहित - Z अक्ष में)।

समानांतर विमान

y²=a²

जब केवल एक निर्देशांक होता है, दूसरे क्रम की सतहें समानांतर विमानों की एक जोड़ी में पतित हो जाती हैं। याद रखें, कोई अन्य चर Y की जगह ले सकता है; तब अन्य अक्षों के समांतर तल प्राप्त होंगे।

y²=−a²

ऐसी स्थिति में वे काल्पनिक हो जाते हैं।

मिलते-जुलते विमान

y2=0

इस तरह के एक सरल समीकरण के साथ, विमानों की एक जोड़ी एक में पतित हो जाती है - वे मेल खाते हैं।

यह मत भूलो कि त्रि-आयामी आधार के मामले में, उपरोक्त समीकरण सीधी रेखा y=0 को परिभाषित नहीं करता है! इसमें अन्य दो चर का अभाव है, लेकिन इसका मतलब यह है कि उनका मान स्थिर है और शून्य के बराबर है।

भवन

एक छात्र के लिए सबसे कठिन कार्यों में से एक दूसरे क्रम की सतहों का निर्माण है। कुल्हाड़ियों के संबंध में वक्र के कोणों और केंद्र के ऑफसेट को देखते हुए, एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में जाना और भी कठिन है। आइए दोहराएं कि एक विश्लेषणात्मक के साथ ड्राइंग के भविष्य के दृष्टिकोण को लगातार कैसे निर्धारित किया जाएरास्ता।

दूसरे क्रम की सतह बनाने के लिए, आपको चाहिए:

• समीकरण को विहित रूप में लाएं;
• अध्ययन के तहत सतह के प्रकार का निर्धारण करें;
• गुणांक मूल्यों के आधार पर निर्माण।

नीचे सभी प्रकार के माने जाते हैं:

समेकित करने के लिए, आइए इस प्रकार के कार्य के एक उदाहरण के बारे में विस्तार से बताते हैं।

उदाहरण

मान लीजिए एक समीकरण है:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60y+144=0}

आइए इसे विहित रूप में लाते हैं। आइए हम पूर्ण वर्गों को अलग करें, अर्थात, हम उपलब्ध शब्दों को इस तरह से व्यवस्थित करते हैं कि वे योग या अंतर के वर्ग का विस्तार हैं। उदाहरण के लिए: यदि (a+1)²=a²+2a+1 तो a²+2a +1=(ए+1)^{2। हम दूसरा ऑपरेशन करेंगे। इस मामले में, कोष्ठक खोलना आवश्यक नहीं है, क्योंकि यह केवल गणनाओं को जटिल करेगा, लेकिन सामान्य कारक 6 (Y के पूर्ण वर्ग के साथ कोष्ठक में) को निकालना आवश्यक है:}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

इस मामले में चर z केवल एक बार आता है - आप इसे अभी के लिए अकेला छोड़ सकते हैं।

हम इस स्तर पर समीकरण का विश्लेषण करते हैं: सभी अज्ञात से पहले एक धन चिह्न होता है; जब छह से विभाजित किया जाता है, तो एक रहता है। इसलिए, हमारे पास एक समीकरण है जो एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है।

ध्यान दें कि 144 को 150-6 में विभाजित किया गया था, जिसके बाद -6 को दाईं ओर ले जाया गया था। इसे इस तरह क्यों करना पड़ा? जाहिर है, इस उदाहरण में सबसे बड़ा भाजक -6 है, ताकि इसे विभाजित करने के बादएक को दाईं ओर छोड़ दिया गया है, 144 से ठीक 6 को "स्थगित" करना आवश्यक है (तथ्य यह है कि एक को दाईं ओर होना चाहिए, एक मुक्त शब्द की उपस्थिति से संकेत मिलता है - एक अज्ञात द्वारा गुणा नहीं किया गया स्थिरांक)।

हर चीज को छह से विभाजित करें और दीर्घवृत्त का विहित समीकरण प्राप्त करें:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

द्वितीय क्रम की सतहों के पहले इस्तेमाल किए गए वर्गीकरण में, एक विशेष मामले पर विचार किया जाता है जब आकृति का केंद्र निर्देशांक के मूल में होता है। इस उदाहरण में, यह ऑफ़सेट है।

हम मानते हैं कि अज्ञात के साथ प्रत्येक कोष्ठक एक नया चर है। वह है: a=x-1, b=y+5, c=z. नए निर्देशांक में, दीर्घवृत्त का केंद्र बिंदु (0, 0, 0) के साथ मेल खाता है, इसलिए, a=b=c=0, जहां से: x=1, y=-5, z=0. प्रारंभिक निर्देशांक में, आकृति का केंद्र बिंदु (1, -5, 0) पर स्थित है।

Elipsoid दो दीर्घवृत्त से प्राप्त किया जाएगा: पहला XY विमान में और दूसरा XZ विमान में (या YZ - यह कोई फर्क नहीं पड़ता)। वे गुणांक जिनके द्वारा चरों को विभाजित किया जाता है, विहित समीकरण में चुकता किया जाता है। इसलिए, उपरोक्त उदाहरण में, दो, एक और तीन के मूल से विभाजित करना अधिक सही होगा।

Y अक्ष के समानांतर पहले दीर्घवृत्त का लघु अक्ष, दो है। एक्स-अक्ष के समानांतर प्रमुख अक्ष दो की दो जड़ें हैं। दूसरे दीर्घवृत्त का लघु अक्ष, Y अक्ष के समानांतर, समान रहता है - यह दो के बराबर होता है। और दीर्घ अक्ष, Z अक्ष के समानांतर, तीन के दो मूलों के बराबर है।

प्रामाणिक रूप में परिवर्तित करके मूल समीकरण से प्राप्त आंकड़ों की सहायता से, हम एक दीर्घवृत्त बना सकते हैं।

संक्षेप में

इस लेख में शामिलविषय काफी व्यापक है, लेकिन वास्तव में, जैसा कि आप अब देख सकते हैं, बहुत जटिल नहीं है। इसका विकास, वास्तव में, उस समय समाप्त होता है जब आप सतहों के नाम और समीकरण याद करते हैं (और, ज़ाहिर है, वे कैसे दिखते हैं)। ऊपर के उदाहरण में, हमने प्रत्येक चरण पर विस्तार से चर्चा की है, लेकिन समीकरण को विहित रूप में लाने के लिए उच्च गणित के न्यूनतम ज्ञान की आवश्यकता होती है और इससे छात्र को कोई कठिनाई नहीं होनी चाहिए।

मौजूदा समानता पर भविष्य की अनुसूची का विश्लेषण पहले से ही अधिक कठिन कार्य है। लेकिन इसके सफल समाधान के लिए, यह समझने के लिए पर्याप्त है कि संबंधित दूसरे क्रम के वक्र कैसे बनाए जाते हैं - दीर्घवृत्त, परवलय, और अन्य।

डिजेनरेसी के मामले - और भी आसान सेक्शन। कुछ चरों की अनुपस्थिति के कारण, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, न केवल गणना सरल हो जाती है, बल्कि निर्माण भी होता है।

जैसे ही आप आत्मविश्वास से सभी प्रकार की सतहों को नाम दे सकते हैं, स्थिरांक बदलते हैं, ग्राफ़ को एक या दूसरे आकार में बदलते हैं - विषय में महारत हासिल हो जाएगी।

पढ़ाई में सफलता!