ऐसा अद्भुत और जाना-पहचाना वर्ग। यह अपने केंद्र और विकर्णों के साथ और पक्षों के केंद्रों के माध्यम से खींची गई कुल्हाड़ियों के बारे में सममित है। और किसी वर्ग या उसके आयतन का क्षेत्रफल ज्ञात करना बिलकुल भी कठिन नहीं है। खासकर अगर इसकी भुजा की लंबाई ज्ञात हो।
आकृति और उसके गुणों के बारे में कुछ शब्द
पहली दो विशेषताएँ परिभाषा से संबंधित हैं। आकृति के सभी पक्ष एक दूसरे के बराबर हैं। आखिरकार, एक वर्ग एक नियमित चतुर्भुज है। इसके अलावा, इसकी सभी भुजाएँ समान होनी चाहिए और कोणों का मान समान होना चाहिए, अर्थात् 90 डिग्री। यह दूसरी संपत्ति है।
तीसरा विकर्णों की लंबाई से संबंधित है। वे एक दूसरे के बराबर भी निकलते हैं। इसके अलावा, वे समकोण और मध्य बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
केवल साइड लेंथ का उपयोग करने वाला फॉर्मूला
सबसे पहले, अंकन के बारे में। पक्ष की लंबाई के लिए, "ए" अक्षर चुनने की प्रथा है। फिर वर्ग क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S=a2 ।
यह आयत के लिए जाने जाने वाले से आसानी से प्राप्त हो जाता है। इसमें लंबाई और चौड़ाई को गुणा किया जाता है। एक वर्ग के लिए, ये दोनों तत्व बराबर हैं। इसलिए, सूत्र मेंइस एक मान का वर्ग प्रकट होता है।
सूत्र जिसमें विकर्ण की लंबाई दिखाई देती है
यह एक त्रिभुज में कर्ण है जिसके पैर आकृति की भुजाएँ हैं। इसलिए, आप पाइथागोरस प्रमेय के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं और एक समानता प्राप्त कर सकते हैं जिसमें विकर्ण के माध्यम से पक्ष व्यक्त किया जाता है।
इस तरह के सरल परिवर्तनों के बाद, हम पाते हैं कि विकर्ण के माध्यम से वर्ग क्षेत्र की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:
एस=डी2/2 । यहाँ अक्षर d वर्ग के विकर्ण को दर्शाता है।
परिधि सूत्र
ऐसी स्थिति में, परिधि के माध्यम से पक्ष को व्यक्त करना और इसे क्षेत्र सूत्र में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। चूँकि आकृति में चार समान भुजाएँ हैं, परिधि को 4 से विभाजित करना होगा। यह भुजा का मान होगा, जिसे बाद में प्रारंभिक एक में प्रतिस्थापित किया जा सकता है और वर्ग के क्षेत्रफल की गणना की जा सकती है।
सामान्य सूत्र इस तरह दिखता है: S=(Р/4)2 ।
गणना के लिए समस्या
1. एक वर्ग है। इसकी दोनों भुजाओं का योग 12 सेमी है। वर्ग और उसके परिमाप का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
निर्णय। चूँकि दो भुजाओं का योग दिया गया है, हमें एक की लंबाई ज्ञात करनी होगी। चूंकि वे समान हैं, ज्ञात संख्या को केवल दो से विभाजित करने की आवश्यकता है। यानी इस आकृति की भुजा 6 सेमी.
फिर उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके इसकी परिधि और क्षेत्रफल की गणना आसानी से की जाती है। पहला 24cm है और दूसरा 36cm2 है।
जवाब। एक वर्ग का परिमाप 24 सेमी है और उसका क्षेत्रफल 36 सेमी2 है।
2.32 मिमी के परिमाप वाले वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
निर्णय। ऊपर लिखे सूत्र में परिधि के मान को प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है। हालाँकि आप पहले वर्ग की भुजा और उसके बाद ही उसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
दोनों स्थितियों में, क्रियाओं में पहले विभाजन और फिर घातांक शामिल होंगे। सरल गणना इस तथ्य की ओर ले जाती है कि प्रदर्शित वर्ग का क्षेत्रफल 64 मिमी2 है।
जवाब। वांछित क्षेत्र 64 मिमी2 है।
3. वर्ग की भुजा 4 dm है। आयत आकार: 2 और 6 डीएम। दोनों में से किस आकृति का क्षेत्रफल बड़ा है? कितना?
निर्णय। वर्ग की भुजा को अक्षर a1 से चिह्नित करें, फिर आयत की लंबाई और चौड़ाई a2 और 2 हैं । एक वर्ग के क्षेत्रफल को निर्धारित करने के लिए, एक 1 के मान को चुकता माना जाता है, और एक आयत के मान को 2 से गुणा किया जाता है।और 2 । यह आसान है।
यह पता चला है कि एक वर्ग का क्षेत्रफल 16 dm2 है, और एक आयत 12 dm2 है। जाहिर है, पहला आंकड़ा दूसरे से बड़ा है। यह इस तथ्य के बावजूद है कि वे समान हैं, अर्थात उनका परिमाप समान है। जांचने के लिए, आप परिधि की गणना कर सकते हैं। वर्ग पर, पक्ष को 4 से गुणा किया जाना चाहिए, आपको 16 डीएम मिलते हैं। आयत की भुजाओं को जोड़ें और 2 से गुणा करें। यह वही संख्या होगी।
समस्या में, आपको यह भी जवाब देना होगा कि क्षेत्र कितने भिन्न हैं। ऐसा करने के लिए, छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटाएं। अंतर 4 डीएम हो जाता है2।
जवाब। क्षेत्र 16 डीएम2 और 12 डीएम2 हैं। वर्ग में 4 डीएम अधिक है2।
सबूत समस्या
हालत। एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के पैर पर एक वर्ग बनाया गया है। इसके कर्ण के लिए एक ऊंचाई बनाई गई है, जिस पर एक और वर्ग बनाया गया है। सिद्ध कीजिए कि पहले का क्षेत्रफल दूसरे के क्षेत्रफल का दोगुना है।
निर्णय। आइए नोटेशन का परिचय दें। मान लें कि पैर a के बराबर है, और कर्ण तक खींची गई ऊंचाई x है। पहले वर्ग का क्षेत्रफल S1 है, दूसरा वर्ग S2 है।
पैर पर बने वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करना आसान है। यह एक 2 के बराबर हो जाता है। दूसरे मूल्य के साथ, चीजें इतनी सरल नहीं हैं।
सबसे पहले आपको कर्ण की लंबाई ज्ञात करनी होगी। इसके लिए पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र उपयोगी है। सरल परिवर्तन इस अभिव्यक्ति की ओर ले जाते हैं: a√2.
चूंकि एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार की ओर खींची गई ऊँचाई भी माध्यिका और ऊँचाई होती है, यह बड़े त्रिभुज को दो समान समद्विबाहु समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। अतः ऊँचाई कर्ण की आधी है। यानी एक्स \u003d (ए 2) / 2। यहाँ से क्षेत्र S2 का पता लगाना आसान है। यह एक 2/2 के बराबर हो जाता है।
जाहिर है, दर्ज किए गए मान दो के कारक से बिल्कुल भिन्न होते हैं। और दूसरा बहुत कम है। साबित करने के लिए आवश्यक के रूप में।
असामान्य पहेली - तंगराम
यह एक वर्ग से बना है। इसे कुछ नियमों के अनुसार विभिन्न आकृतियों में काटा जाना चाहिए। कुल भाग 7.
होने चाहिए
नियम मानते हैं कि खेल के दौरान सभी परिणामी भागों का उपयोग किया जाएगा। इनमें से आपको अन्य ज्यामितीय आकृतियाँ बनाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए,आयत, समलम्ब चतुर्भुज या समांतर चतुर्भुज।
लेकिन यह और भी दिलचस्प है जब टुकड़ों से जानवरों या वस्तुओं के सिल्हूट प्राप्त किए जाते हैं। इसके अलावा, यह पता चला है कि सभी व्युत्पन्न आंकड़ों का क्षेत्रफल प्रारंभिक वर्ग के बराबर है।
