आपके ध्यान में लाए गए लेख में, हम गणितीय मॉडल के उदाहरण प्रस्तुत करते हैं। इसके अलावा, हम मॉडल बनाने के चरणों पर ध्यान देंगे और गणितीय मॉडलिंग से जुड़े कुछ कार्यों का विश्लेषण करेंगे।
हमारा एक और प्रश्न अर्थव्यवस्था में गणितीय मॉडल के बारे में है, उदाहरण, जिसकी परिभाषा पर हम थोड़ी देर बाद विचार करेंगे। हम "मॉडल" की अवधारणा के साथ अपनी बातचीत शुरू करने का प्रस्ताव करते हैं, संक्षेप में उनके वर्गीकरण पर विचार करें और हमारे मुख्य प्रश्नों पर आगे बढ़ें।
"मॉडल" की अवधारणा
हम अक्सर "मॉडल" शब्द सुनते हैं। यह क्या है? इस शब्द की कई परिभाषाएँ हैं, यहाँ उनमें से केवल तीन हैं:
- एक विशिष्ट वस्तु जो जानकारी प्राप्त करने और संग्रहीत करने के लिए बनाई गई है, कुछ गुणों या विशेषताओं को दर्शाती है, और इसी तरह, इस वस्तु के मूल (इस विशिष्ट वस्तु को विभिन्न रूपों में व्यक्त किया जा सकता है: मानसिक, संकेतों का उपयोग करके विवरण, और इसी तरह);
- मॉडल का अर्थ किसी विशिष्ट स्थिति, जीवन या का प्रदर्शन भी होता हैप्रबंधकीय;
- मॉडल किसी भी वस्तु की कम प्रतिलिपि के रूप में काम कर सकता है (वे अधिक विस्तृत अध्ययन और विश्लेषण के लिए बनाए गए हैं, क्योंकि मॉडल संरचना और संबंधों को दर्शाता है)।
पहले कही गई हर बात के आधार पर, हम एक छोटा निष्कर्ष निकाल सकते हैं: मॉडल आपको एक जटिल प्रणाली या वस्तु का विस्तार से अध्ययन करने की अनुमति देता है।
सभी मॉडलों को कई मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:
- उपयोग के क्षेत्र के अनुसार (शैक्षिक, प्रायोगिक, वैज्ञानिक और तकनीकी, गेमिंग, सिमुलेशन);
- गतिशीलता द्वारा (स्थिर और गतिशील);
- ज्ञान की शाखा द्वारा (भौतिक, रासायनिक, भौगोलिक, ऐतिहासिक, सामाजिक, आर्थिक, गणितीय);
- प्रस्तुति के माध्यम से (सामग्री और सूचनात्मक)।
सूचना मॉडल, बदले में, सांकेतिक और मौखिक में विभाजित हैं। और प्रतिष्ठित - कंप्यूटर और गैर-कंप्यूटर पर। अब आइए एक गणितीय मॉडल के उदाहरणों पर विस्तार से विचार करें।
गणितीय मॉडल
जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, एक गणितीय मॉडल विशेष गणितीय प्रतीकों का उपयोग करके किसी वस्तु या घटना की कुछ विशेषताओं को दर्शाता है। आसपास की दुनिया के पैटर्न को अपनी विशिष्ट भाषा में मॉडल करने के लिए गणित की आवश्यकता होती है।
गणितीय निदर्शन की पद्धति की उत्पत्ति इस विज्ञान के आगमन के साथ-साथ हजारों वर्ष पूर्व काफ़ी समय पहले हुई थी। हालांकि, इस मॉडलिंग पद्धति के विकास के लिए कंप्यूटर (इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर) की उपस्थिति से प्रोत्साहन मिला।
अब वर्गीकरण पर चलते हैं। इसे कुछ संकेतों के अनुसार भी किया जा सकता है। वो हैंनीचे दी गई तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।
| विज्ञान की शाखा द्वारा वर्गीकरण | भौतिकी, समाजशास्त्र, रसायन विज्ञान आदि में गणितीय मॉडल का अनुप्रयोग |
| मॉडलिंग प्रक्रिया में प्रयुक्त गणितीय उपकरण के अनुसार | डिफरेंशियल इक्वेशन्स, असतत बीजीय ट्रांसफॉर्मेशन और इसी तरह के मॉडल पर आधारित |
| मॉडलिंग लक्ष्यों के द्वारा | इस सिद्धांत के अनुसार, वर्णनात्मक, अनुकूलन, बहु-मानदंड, खेल और अनुकरण मॉडल हैं |
हम पिछले वर्गीकरण को रोकने और करीब से देखने का प्रस्ताव करते हैं, क्योंकि यह मॉडलिंग के सामान्य पैटर्न और बनाए जा रहे मॉडलों के लक्ष्यों को दर्शाता है।
वर्णनात्मक मॉडल
इस अध्याय में, हम वर्णनात्मक गणितीय मॉडल पर अधिक विस्तार से रहने का प्रस्ताव करते हैं। सब कुछ बहुत स्पष्ट करने के लिए, एक उदाहरण दिया जाएगा।
शुरू करने के लिए, इस दृश्य को वर्णनात्मक कहा जा सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि हम केवल गणना और पूर्वानुमान करते हैं, लेकिन हम किसी भी तरह से घटना के परिणाम को प्रभावित नहीं कर सकते।
वर्णनात्मक गणितीय मॉडल का एक उल्लेखनीय उदाहरण एक धूमकेतु की पृथ्वी से उड़ान पथ, गति, दूरी की गणना है जिसने हमारे सौर मंडल की विशालता पर आक्रमण किया। यह मॉडल वर्णनात्मक है, क्योंकि प्राप्त सभी परिणाम हमें केवल किसी प्रकार के खतरे से आगाह कर सकते हैं। घटना के परिणाम को प्रभावित करें, अफसोस, हम नहींकर सकना। हालांकि, प्राप्त गणनाओं के आधार पर पृथ्वी पर जीवन को बचाने के लिए कोई उपाय करना संभव है।
अनुकूलन मॉडल
अब हम आर्थिक और गणितीय मॉडल के बारे में थोड़ी बात करेंगे, जिसके उदाहरण अलग-अलग स्थितियां हो सकते हैं। इस मामले में, हम उन मॉडलों के बारे में बात कर रहे हैं जो कुछ स्थितियों में सही उत्तर खोजने में मदद करते हैं। उनके पास कुछ पैरामीटर होने चाहिए। इसे बहुत स्पष्ट करने के लिए, कृषि भाग से एक उदाहरण पर विचार करें।
हमारे पास अन्न भंडार है, लेकिन अनाज बहुत जल्दी खराब हो जाता है। इस मामले में, हमें सही तापमान व्यवस्था चुनने और भंडारण प्रक्रिया को अनुकूलित करने की आवश्यकता है।
इस प्रकार, हम "अनुकूलन मॉडल" की अवधारणा को परिभाषित कर सकते हैं। गणितीय अर्थ में, यह समीकरणों की एक प्रणाली है (रैखिक और नहीं दोनों), जिसका समाधान किसी विशेष आर्थिक स्थिति में इष्टतम समाधान खोजने में मदद करता है। हमने गणितीय मॉडल (अनुकूलन) का एक उदाहरण माना है, लेकिन मैं जोड़ना चाहूंगा: यह प्रकार अत्यधिक समस्याओं के वर्ग से संबंधित है, वे आर्थिक प्रणाली के कामकाज का वर्णन करने में मदद करते हैं।
एक और बारीकियों पर ध्यान दें: मॉडल विभिन्न प्रकृति के हो सकते हैं (नीचे तालिका देखें)।
| नियतात्मक | इस मामले में, परिणाम इनपुट डेटा पर निर्भर करता है |
| स्टोचस्टिक | यादृच्छिक प्रक्रियाओं का विवरण। इस मामले में, परिणाम अपरिभाषित रहता है |
बहु मानदंड मॉडल
अब हम आपको कुछ बात करने के लिए आमंत्रित करते हैंबहुउद्देश्यीय अनुकूलन का गणितीय मॉडल। इससे पहले, हमने किसी एक मानदंड के अनुसार एक प्रक्रिया को अनुकूलित करने के लिए गणितीय मॉडल का एक उदाहरण दिया था, लेकिन क्या होगा यदि उनमें से बहुत सारे हैं?
एक बहु-मापदंड कार्य का एक उल्लेखनीय उदाहरण लोगों के बड़े समूहों के लिए उचित, स्वस्थ और साथ ही किफायती पोषण का संगठन है। ऐसे कार्य अक्सर सेना, स्कूल कैंटीन, ग्रीष्मकालीन शिविर, अस्पतालों आदि में पाए जाते हैं।
इस समस्या में हमें क्या मापदंड दिए गए हैं?
- खाना स्वस्थ होना चाहिए।
- भोजन पर खर्च कम से कम रखना चाहिए।
जैसा कि आप देख सकते हैं, ये लक्ष्य बिल्कुल मेल नहीं खाते। इसका मतलब यह है कि किसी समस्या को हल करते समय, इष्टतम समाधान की तलाश करना आवश्यक है, दो मानदंडों के बीच संतुलन।
गेम मॉडल
गेम मॉडल की बात करें तो "गेम थ्योरी" की अवधारणा को समझना आवश्यक है। सीधे शब्दों में कहें तो ये मॉडल वास्तविक संघर्षों के गणितीय मॉडल को दर्शाते हैं। बस इस बात से अवगत रहें कि, वास्तविक संघर्ष के विपरीत, गेम गणितीय मॉडल के अपने विशिष्ट नियम हैं।
अब गेम थ्योरी से कम से कम जानकारी होगी जो आपको यह समझने में मदद करेगी कि गेम मॉडल क्या है। और इसलिए, मॉडल में आवश्यक रूप से पार्टियां (दो या अधिक) होती हैं, जिन्हें आमतौर पर खिलाड़ी कहा जाता है।
सभी मॉडलों में कुछ विशेषताएं होती हैं।
| विषय | खिलाड़ियों की संख्या |
| रणनीति | संभावित कार्यों के लिए विकल्प |
| भुगतान | संघर्ष का परिणाम (जीत या हार)। |
गेम मॉडल को पेयर या मल्टीपल किया जा सकता है। यदि हमारे पास दो विषय हैं, तो संघर्ष जोड़ा जाता है, यदि अधिक - एकाधिक। एक विरोधी खेल को भी प्रतिष्ठित किया जा सकता है, इसे शून्य-योग वाला खेल भी कहा जाता है। यह एक ऐसा मॉडल है जिसमें एक प्रतिभागी का लाभ दूसरे के नुकसान के बराबर होता है।
सिमुलेशन मॉडल
इस खंड में, हम सिमुलेशन गणितीय मॉडल पर ध्यान देंगे। कार्यों के उदाहरण हैं:
- सूक्ष्मजीवों की संख्या की गतिशीलता का मॉडल;
- अणुओं की गति का मॉडल, इत्यादि।
इस मामले में, हम उन मॉडलों के बारे में बात कर रहे हैं जो वास्तविक प्रक्रियाओं के यथासंभव करीब हैं। कुल मिलाकर, वे प्रकृति में किसी भी अभिव्यक्ति की नकल करते हैं। पहले मामले में, उदाहरण के लिए, हम एक कॉलोनी में चींटियों की संख्या की गतिशीलता का मॉडल बना सकते हैं। इस मामले में, आप प्रत्येक व्यक्ति के भाग्य का निरीक्षण कर सकते हैं। इस मामले में, गणितीय विवरण का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, अधिक बार लिखित शर्तें होती हैं:
- पांच दिन बाद मादा अंडे देती है;
- 20 दिन बाद चींटी मर जाती है, इत्यादि।
इस प्रकार, एक बड़ी प्रणाली का वर्णन करने के लिए सिमुलेशन मॉडल का उपयोग किया जाता है। गणितीय निष्कर्ष प्राप्त सांख्यिकीय डेटा का प्रसंस्करण है।
आवश्यकताएं
बहुत महत्वपूर्णध्यान रखें कि इस प्रकार के मॉडल के लिए कुछ आवश्यकताएं हैं, जिनमें से नीचे दी गई तालिका में दी गई हैं।
| बहुमुखी प्रतिभा | यह गुण आपको एक ही प्रकार की वस्तुओं के समूहों का वर्णन करते समय एक ही मॉडल का उपयोग करने की अनुमति देता है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि सार्वभौमिक गणितीय मॉडल अध्ययन के तहत वस्तु की भौतिक प्रकृति से पूरी तरह स्वतंत्र हैं |
| पर्याप्तता | यहां यह समझना महत्वपूर्ण है कि यह संपत्ति आपको वास्तविक प्रक्रियाओं को यथासंभव सटीक रूप से पुन: पेश करने की अनुमति देती है। संचालन समस्याओं में, गणितीय मॉडलिंग की यह संपत्ति बहुत महत्वपूर्ण है। एक मॉडल का एक उदाहरण गैस प्रणाली के उपयोग को अनुकूलित करने की प्रक्रिया है। इस मामले में, गणना और वास्तविक संकेतकों की तुलना की जाती है, परिणामस्वरूप, संकलित मॉडल की शुद्धता की जाँच की जाती है |
| सटीकता | इस आवश्यकता का तात्पर्य उन मूल्यों के संयोग से है जो हमें गणितीय मॉडल और हमारी वास्तविक वस्तु के इनपुट मापदंडों की गणना करते समय मिलते हैं |
| अर्थव्यवस्था | किसी भी गणितीय मॉडल के लिए लागत-प्रभावशीलता की आवश्यकता कार्यान्वयन लागतों की विशेषता है। यदि मॉडल के साथ काम मैन्युअल रूप से किया जाता है, तो यह गणना करना आवश्यक है कि इस गणितीय मॉडल का उपयोग करके एक समस्या को हल करने में कितना समय लगेगा। अगर हम कंप्यूटर एडेड डिजाइन के बारे में बात कर रहे हैं, तो समय और कंप्यूटर मेमोरी की लागत के संकेतकों की गणना की जाती है |
चरणमॉडलिंग
कुल मिलाकर, गणितीय मॉडलिंग में चार चरणों में अंतर करने की प्रथा है।
- मॉडल के हिस्सों को जोड़ने वाले कानूनों को तैयार करें।
- गणितीय समस्याओं का शोध।
- व्यावहारिक और सैद्धांतिक परिणामों के संयोग को स्पष्ट करना।
- मॉडल का विश्लेषण और आधुनिकीकरण।
आर्थिक और गणितीय मॉडल
इस खंड में, हम आर्थिक और गणितीय मॉडल के मुद्दे पर संक्षेप में प्रकाश डालेंगे। कार्यों के उदाहरण हैं:
- मांस उत्पादों के उत्पादन के लिए उत्पादन कार्यक्रम का गठन, उत्पादन का अधिकतम लाभ सुनिश्चित करना;
- फर्नीचर कारखाने में उत्पादित होने वाली मेज और कुर्सियों की इष्टतम संख्या की गणना करके संगठन के लाभ को अधिकतम करें, और इसी तरह।
आर्थिक-गणितीय मॉडल एक आर्थिक अमूर्तता प्रदर्शित करता है, जिसे गणितीय शब्दों और संकेतों का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।
कंप्यूटर गणितीय मॉडल
कंप्यूटर गणितीय मॉडल के उदाहरण हैं:
- फ्लोचार्ट, डायग्राम, टेबल आदि का उपयोग कर हाइड्रोलिक्स की समस्याएं;
- ठोस यांत्रिकी पर समस्याएं, इत्यादि।
कंप्यूटर मॉडल किसी वस्तु या प्रणाली की एक छवि है जिसे इस प्रकार प्रस्तुत किया जाता है:
- टेबल;
- फ्लोचार्ट;
- आरेख;
- ग्राफिक्स, और इसी तरह।
साथ ही, यह मॉडल सिस्टम की संरचना और इंटरकनेक्शन को दर्शाता है।
एक आर्थिक-गणितीय मॉडल का निर्माण
हम पहले ही बात कर चुके हैं कि आर्थिक क्या हैगणित का मॉडल। समस्या को हल करने का एक उदाहरण अभी माना जाएगा। वर्गीकरण में बदलाव के साथ लाभ बढ़ाने के लिए रिजर्व की पहचान करने के लिए हमें उत्पादन कार्यक्रम का विश्लेषण करने की आवश्यकता है।
हम समस्या पर पूरी तरह से विचार नहीं करेंगे, बल्कि केवल एक आर्थिक और गणितीय मॉडल का निर्माण करेंगे। हमारे कार्य की कसौटी लाभ को अधिकतम करना है। फिर फ़ंक्शन का रूप है: Л=р1х1+р2х2… अधिकतम की ओर झुकाव। इस मॉडल में, p प्रति इकाई लाभ है, x उत्पादित इकाइयों की संख्या है। इसके अलावा, निर्मित मॉडल के आधार पर, गणना करना और संक्षेप करना आवश्यक है।
एक साधारण गणितीय मॉडल बनाने का एक उदाहरण
कार्य। मछुआरा निम्नलिखित कैच लेकर लौटा:
- 8 मछली - उत्तरी समुद्र के निवासी;
- पकड़ का 20% - दक्षिणी समुद्र के निवासी;
- स्थानीय नदी से एक भी मछली नहीं मिली।
उसने दुकान से कितनी मछलियाँ खरीदीं?
तो, इस समस्या का गणितीय मॉडल बनाने का एक उदाहरण इस प्रकार है। हम मछलियों की कुल संख्या को x के रूप में निरूपित करते हैं। इस शर्त के बाद, 0.2x दक्षिणी अक्षांशों में रहने वाली मछलियों की संख्या है। अब हम सभी उपलब्ध सूचनाओं को मिलाते हैं और समस्या का गणितीय मॉडल प्राप्त करते हैं: x=0, 2x+8. हम समीकरण को हल करते हैं और मुख्य प्रश्न का उत्तर प्राप्त करते हैं: उसने स्टोर में 10 मछलियाँ खरीदीं।
