बहुपद, या बहुपद - मूल बीजीय संरचनाओं में से एक, जो स्कूल और उच्च गणित में पाया जाता है। एक बहुपद का अध्ययन एक बीजगणित पाठ्यक्रम में सबसे महत्वपूर्ण विषय है, क्योंकि एक ओर, बहुपद अन्य प्रकार के कार्यों की तुलना में काफी सरल होते हैं, और दूसरी ओर, गणितीय विश्लेषण की समस्याओं को हल करने में उनका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।. तो बहुपद क्या है?
परिभाषा
बहुपद शब्द की परिभाषा एकपदी, या एकपदी की अवधारणा के माध्यम से दी जा सकती है।
एक एकपदी सीएक्स1i1x2 की अभिव्यक्ति है i2 …x में। यहाँ с एक स्थिरांक है, x1, x2, … x - चर, i1, i2, … in - चर के प्रतिपादक। तब एक बहुपद एकपदी का कोई परिमित योग होता है।
बहुपद क्या है, यह समझने के लिए आप विशिष्ट उदाहरण देख सकते हैं।
वर्ग त्रिपद, जिसकी 8वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम में विस्तार से चर्चा की गई है, एक बहुपद है: ax2+bx+c.
दो चरों वाला बहुपद इस तरह दिख सकता है: x2-xy+y2। ऐसाएक बहुपद को x और y के बीच के अंतर का अधूरा वर्ग भी कहा जाता है।
बहुपद वर्गीकरण
बहुपद डिग्री
बहुपद में प्रत्येक एकपदी के लिए, घातांक i1+i2+…+in का योग ज्ञात कीजिए। सबसे बड़े योग को बहुपद का घातांक कहा जाता है, और इस योग के संगत एकपदी को उच्चतम पद कहा जाता है।
वैसे, किसी भी अचर को घात शून्य का बहुपद माना जा सकता है।
घटित और गैर-घटित बहुपद
यदि उच्चतम पद के लिए गुणांक c 1 के बराबर है, तो बहुपद दिया जाता है, अन्यथा नहीं।
उदाहरण के लिए, व्यंजक x2+2x+1 एक छोटा बहुपद है, और 2x2+2x+1 कम नहीं है.
सजातीय और अमानवीय बहुपद
यदि किसी बहुपद के सभी सदस्यों की घात समान हों, तो हम कहते हैं कि ऐसा बहुपद समघात होता है। अन्य सभी बहुपदों को गैर-सजातीय माना जाता है।
सजातीय बहुपद: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3। विषम: x+1, x2+y.
दो और तीन पदों वाले बहुपद के लिए विशेष नाम हैं: द्विपद और त्रिपद, क्रमशः।
एक चर के बहुपदों को एक अलग श्रेणी में आवंटित किया जाता है।
एक चर के बहुपद का अनुप्रयोग
एक चर के बहुपद एक तर्क से भिन्न जटिलता के निरंतर कार्यों का अनुमान लगाते हैं।
तथ्य यह है कि इस तरह के बहुपदों को एक शक्ति श्रृंखला के आंशिक योग के रूप में माना जा सकता है, और एक निरंतर कार्य को एक मनमाने ढंग से छोटी त्रुटि के साथ एक श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है। किसी फलन की विस्तार श्रंखला को टेलर श्रंखला कहते हैं, और उनकेबहुपद के रूप में आंशिक योग - टेलर बहुपद।
किसी फ़ंक्शन के व्यवहार का किसी बहुपद के साथ अनुमान लगाकर अध्ययन करना अक्सर उसी फ़ंक्शन की सीधे जांच करने या श्रृंखला का उपयोग करने की तुलना में आसान होता है।
बहुपदों के व्युत्पन्नों को खोजना आसान है। डिग्री 4 और उससे नीचे के बहुपदों की जड़ों को खोजने के लिए, तैयार सूत्र हैं, और उच्च डिग्री के साथ काम करने के लिए, उच्च-सटीक अनुमानित एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है।
कई चरों के फलनों के लिए वर्णित बहुपदों का एक सामान्यीकरण भी है।
न्यूटन का द्विपद
प्रसिद्ध बहुपद न्यूटन के बहुपद हैं, जो वैज्ञानिकों द्वारा व्यंजक (x + y) के गुणांकों को खोजने के लिए निकाले गए हैं ।
द्विपद अपघटन की पहली कुछ शक्तियों को देखने के लिए यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि सूत्र गैर-तुच्छ है:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
प्रत्येक गुणांक के लिए एक व्यंजक है जो आपको इसकी गणना करने की अनुमति देता है। हालांकि, बोझिल सूत्रों को याद रखना और हर बार आवश्यक अंकगणितीय संचालन करना उन गणितज्ञों के लिए बेहद असुविधाजनक होगा, जिन्हें अक्सर ऐसे विस्तार की आवश्यकता होती है। पास्कल के त्रिकोण ने उनके लिए जीवन को बहुत आसान बना दिया।
आकृति निम्न सिद्धांत के अनुसार बनाई गई है। 1 त्रिभुज के शीर्ष पर लिखा जाता है, और प्रत्येक अगली पंक्ति में यह एक और अंक बन जाता है, किनारों पर 1 डाल दिया जाता है, और रेखा के मध्य में पिछले एक से दो आसन्न संख्याओं के योग भर दिए जाते हैं।
जब आप दृष्टांत को देखते हैं, तो सब कुछ स्पष्ट हो जाता है।
बेशक, गणित में बहुपदों का उपयोग दिए गए उदाहरणों तक सीमित नहीं है, जो सबसे व्यापक रूप से ज्ञात हैं।
