समतल समीकरण। दो तलों के बीच का कोण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

एक समतल, एक बिंदु और एक सीधी रेखा के साथ, एक बुनियादी ज्यामितीय तत्व है। इसके प्रयोग से स्थानिक ज्यामिति में अनेक आकृतियों का निर्माण होता है। इस लेख में, हम और अधिक विस्तार से इस प्रश्न पर विचार करेंगे कि दो समतलों के बीच का कोण कैसे ज्ञात किया जाए।

अवधारणा

दो समतलों के बीच के कोण के बारे में बात करने से पहले आपको यह अच्छी तरह समझ लेना चाहिए कि हम ज्यामिति में किस तत्व की बात कर रहे हैं। आइए शब्दावली को समझते हैं। एक विमान अंतरिक्ष में बिंदुओं का एक अंतहीन संग्रह है, जिससे हमें वैक्टर मिलते हैं। उत्तरार्द्ध किसी एक वेक्टर के लंबवत होगा। इसे सामान्यत: समतल का अभिलम्ब कहा जाता है।

उपरोक्त चित्र में एक समतल और दो सामान्य सदिश हैं। यह देखा जा सकता है कि दोनों वैक्टर एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं। उनके बीच का कोण 180o है।

समीकरण

दो तलों के बीच के कोण का निर्धारण किया जा सकता है यदि माना ज्यामितीय तत्व का गणितीय समीकरण ज्ञात हो। ऐसे कई प्रकार के समीकरण हैं,जिनके नाम नीचे सूचीबद्ध हैं:

• सामान्य प्रकार;
• वेक्टर;
• खंडों में।

विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए ये तीन प्रकार सबसे सुविधाजनक हैं, इसलिए इनका सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

एक सामान्य प्रकार का समीकरण इस तरह दिखता है:

Ax + By + Cz + D=0.

यहाँ x, y, z दिए गए तल से संबंधित एक स्वेच्छ बिंदु के निर्देशांक हैं। पैरामीटर ए, बी, सी और डी संख्याएं हैं। इस संकेतन की सुविधा इस तथ्य में निहित है कि संख्या ए, बी, सी विमान के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं।

विमान के सदिश रूप को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, बी₂, सी_2)।

यहां (a₂, b₂, c₂) और (a ₁, b₁, c₁) - दो निर्देशांक वैक्टर के पैरामीटर जो माना विमान से संबंधित हैं। बिंदु (x₀, y₀, z_{0) भी इसी तल में स्थित है। पैरामीटर α और β स्वतंत्र और मनमाना मान ले सकते हैं।}

अंत में, खंडों में समतल के समीकरण को निम्नलिखित गणितीय रूप में दर्शाया गया है:

x/p + y/q + z/l=1.

यहाँ p, q, l विशिष्ट संख्याएँ हैं (ऋणात्मक संख्याओं सहित)। इस प्रकार का समीकरण तब उपयोगी होता है जब एक समतल को एक आयताकार समन्वय प्रणाली में चित्रित करना आवश्यक होता है, क्योंकि संख्याएँ p, q, l x, y और z अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं को दर्शाती हैं।विमान।

ध्यान दें कि सरल गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके प्रत्येक प्रकार के समीकरण को किसी अन्य में परिवर्तित किया जा सकता है।

दो तलों के बीच के कोण का सूत्र

अब निम्नलिखित बारीकियों पर विचार करें। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, दो विमान केवल दो तरीकों से स्थित हो सकते हैं। या तो प्रतिच्छेद करें या समानांतर हों। दो विमानों के बीच, कोण वह होता है जो उनके गाइड वैक्टर (सामान्य) के बीच स्थित होता है। प्रतिच्छेद करते हुए, 2 वैक्टर 2 कोण बनाते हैं (सामान्य स्थिति में तीव्र और अधिक)। विमानों के बीच के कोण को न्यून माना जाता है। समीकरण पर विचार करें।

दो तलों के बीच के कोण का सूत्र है:

θ=आर्ककोस(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

यह अनुमान लगाना आसान है कि यह अभिव्यक्ति सामान्य वैक्टर n₁¯ और n₂ के स्केलर उत्पाद का प्रत्यक्ष परिणाम है। ¯ माना विमानों के लिए। अंश में डॉट उत्पाद का मापांक इंगित करता है कि कोण θ केवल 0^o से 90^{o तक मान लेगा। हर में सामान्य सदिशों के मापांक के गुणनफल का अर्थ है उनकी लंबाई का गुणनफल।}

ध्यान दें, यदि (n₁¯n_{2¯)=0, तो समतल समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।}

उदाहरण समस्या

यह पता लगाने के बाद कि दो तलों के बीच का कोण क्या कहलाता है, हम निम्नलिखित समस्या का समाधान करेंगे। उदहारण के लिए। तो, ऐसे विमानों के बीच के कोण की गणना करना आवश्यक है:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3)।

समस्या को हल करने के लिए, आपको विमानों के दिशा सदिशों को जानना होगा। पहले विमान के लिए, सामान्य वेक्टर है: n₁¯=(2, -3, 0)। दूसरा विमान सामान्य वेक्टर खोजने के लिए, पैरामीटर α और β के बाद वैक्टर को गुणा करना चाहिए। परिणाम एक वेक्टर है: n_{2¯=(5, -3, 2)।}

कोण θ निर्धारित करने के लिए, हम पिछले पैराग्राफ से सूत्र का उपयोग करते हैं। हमें मिलता है:

θ=आर्ककोस (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=आर्ककोस (19/√(1338))=0.5455 रेड।

रेडियन में परिकलित कोण 31.26^o से मेल खाता है। इस प्रकार, समस्या की स्थिति से विमान 31, 26^{o के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।}