कोणीय त्वरण की अवधारणा। किनेमेटिक्स के सूत्र और रोटेशन की गतिशीलता। कार्य उदाहरण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

पिंडों का घूमना प्रौद्योगिकी और प्रकृति में यांत्रिक गति के महत्वपूर्ण प्रकारों में से एक है। रैखिक गति के विपरीत, यह अपने स्वयं के गतिज विशेषताओं के सेट द्वारा वर्णित है। उनमें से एक कोणीय त्वरण है। हम लेख में इस मूल्य की विशेषता बताते हैं।

रोटेशन मूवमेंट

कोणीय त्वरण के बारे में बात करने से पहले, आइए बताते हैं कि यह किस प्रकार की गति पर लागू होता है। हम घूर्णन के बारे में बात कर रहे हैं, जो वृत्ताकार पथों के साथ पिंडों की गति है। रोटेशन होने के लिए, कुछ शर्तों को पूरा करना होगा:

अक्ष या घूर्णन बिंदु की उपस्थिति;
एक अभिकेन्द्रीय बल की उपस्थिति जो पिंड को एक वृत्ताकार कक्षा में रखेगी।

इस प्रकार के आंदोलन के उदाहरण विभिन्न आकर्षण हैं, जैसे हिंडोला। इंजीनियरिंग में, रोटेशन पहियों और शाफ्ट के आंदोलन में ही प्रकट होता है। प्रकृति में, इस प्रकार की गति का सबसे उल्लेखनीय उदाहरण ग्रहों का अपनी धुरी पर और सूर्य के चारों ओर घूमना है। इन उदाहरणों में अभिकेन्द्रीय बल की भूमिका ठोसों में अंतरापरमाण्विक अन्योन्यक्रिया की शक्तियों और गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा निभाई जाती है।बातचीत।

घूर्णन की गतिज विशेषताएं

इन विशेषताओं में तीन मात्राएँ शामिल हैं: कोणीय त्वरण, कोणीय वेग और घूर्णन कोण। हम इन्हें क्रमशः ग्रीक प्रतीकों α, और से निरूपित करेंगे।

चूंकि पिंड एक वृत्त में घूम रहा है, इसलिए कोण की गणना करना सुविधाजनक है, जिसे वह एक निश्चित समय में घुमाएगा। यह कोण रेडियन (शायद ही कभी डिग्री में) में व्यक्त किया जाता है। चूँकि वृत्त में 2 × pi रेडियन हैं, इसलिए हम से संबंधित मोड़ की चाप लंबाई L से संबंधित एक समीकरण लिख सकते हैं:

एल=θ × आर

जहां r घूर्णन की त्रिज्या है। यदि आपको परिधि के लिए संबंधित व्यंजक याद है तो यह सूत्र प्राप्त करना आसान है।

कोणीय वेग ω, अपने रैखिक समकक्ष की तरह, अक्ष के चारों ओर घूमने की गति का वर्णन करता है, अर्थात यह निम्नलिखित अभिव्यक्ति के अनुसार निर्धारित होता है:

ω¯=डी / डी टी

मात्रा एक सदिश मान है। यह रोटेशन की धुरी के साथ निर्देशित है। इसकी इकाई रेडियन प्रति सेकंड (रेड/सेकण्ड) है।

आखिरकार, कोणीय त्वरण एक भौतिक विशेषता है जो के मान में परिवर्तन की दर को निर्धारित करता है, जिसे गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जाता है:

α¯=डी ω¯/ डी टी

सदिश α¯ वेग वेक्टर को बदलने की दिशा में निर्देशित है। आगे यह कहा जाएगा कि कोणीय त्वरण बल के क्षण के वेक्टर की ओर निर्देशित होता है। यह मान रेडियन में मापा जाता है।वर्ग सेकंड (रेड/एस²).

बल और त्वरण का क्षण

यदि हम न्यूटन के नियम को याद करें, जो बल और रैखिक त्वरण को एक समानता में जोड़ता है, तो इस नियम को रोटेशन के मामले में स्थानांतरित करते हुए, हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति लिख सकते हैं:

एम¯=मैं × α¯

यहाँ M¯ बल का क्षण है, जो उस बल का गुणनफल है जो सिस्टम को लीवर के समय घुमाता है - बल अनुप्रयोग के बिंदु से अक्ष तक की दूरी। मान I शरीर के द्रव्यमान के अनुरूप है और इसे जड़ता का क्षण कहा जाता है। लिखित सूत्र को क्षणों का समीकरण कहा जाता है। इससे कोणीय त्वरण की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

α¯=एम¯/ मैं

चूंकि I एक अदिश राशि है, α¯ हमेशा बल M¯ के अभिनय क्षण की ओर निर्देशित होता है। M¯ की दिशा दाहिने हाथ के नियम या गिलेट नियम से निर्धारित होती है। वैक्टर M¯ और α¯ रोटेशन के विमान के लंबवत हैं। शरीर की जड़ता का क्षण जितना अधिक होगा, कोणीय त्वरण का मान उतना ही कम होगा कि निश्चित क्षण M¯ सिस्टम को प्रदान कर सकता है।

गतिज समीकरण

घूर्णन की गति का वर्णन करने में कोणीय त्वरण द्वारा निभाई जाने वाली महत्वपूर्ण भूमिका को समझने के लिए, आइए ऊपर अध्ययन की गई गतिज राशियों को जोड़ने वाले सूत्रों को लिखें।

समान रूप से त्वरित रोटेशन के मामले में, निम्नलिखित गणितीय संबंध मान्य हैं:

ω=α × टी;

θ=α × टी² /2

पहला सूत्र दर्शाता है कि कोणीयएक रेखीय नियम के अनुसार समय में गति में वृद्धि होगी। दूसरी अभिव्यक्ति आपको उस कोण की गणना करने की अनुमति देती है जिसके द्वारा शरीर एक ज्ञात समय t में बदल जाएगा। फलन (t) का आलेख एक परवलय है। दोनों ही स्थितियों में, कोणीय त्वरण एक स्थिरांक है।

यदि हम लेख की शुरुआत में दिए गए L और θ के बीच संबंध सूत्र का उपयोग करते हैं, तो हम रैखिक त्वरण के संदर्भ में α के लिए एक व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं a:

α=ए / आर

यदि α स्थिर है, तो जैसे-जैसे घूर्णन के अक्ष से दूरी r बढ़ती है, रैखिक त्वरण a आनुपातिक रूप से बढ़ता जाएगा। यही कारण है कि कोणीय विशेषताओं का उपयोग रोटेशन के लिए किया जाता है, रैखिक के विपरीत, वे बढ़ते या घटते r के साथ नहीं बदलते हैं।

उदाहरण समस्या

धातु शाफ्ट, 2,000 चक्कर प्रति सेकंड की आवृत्ति पर घूमता है, धीमा होने लगा और 1 मिनट के बाद पूरी तरह से बंद हो गया। यह गणना करना आवश्यक है कि शाफ्ट के मंदी की प्रक्रिया किस कोणीय त्वरण से हुई। आपको रोकने से पहले शाफ्ट द्वारा किए गए चक्करों की संख्या की भी गणना करनी चाहिए।

घूर्णन मंदी की प्रक्रिया को निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया गया है:

ω=ω₀- α × t

प्रारंभिक कोणीय वेग ω₀ रोटेशन आवृत्ति f से निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:

ω₀=2 × पीआई × एफ

चूंकि हम मंदी का समय जानते हैं, तो हमें त्वरण मान मिलता है α:

α=ω₀ / t=2 × pi × f / t=209.33 rad/s²

इस नंबर को माइनस साइन से लिया जाना चाहिए,क्योंकि हम सिस्टम को धीमा करने की बात कर रहे हैं, उसे तेज करने की नहीं।

ब्रेकिंग के दौरान शाफ्ट द्वारा किए जाने वाले चक्करों की संख्या निर्धारित करने के लिए, अभिव्यक्ति लागू करें:

θ=ω₀ × t - α × t² /2=376,806 रेड।

रेडियन में रोटेशन के कोण θ का प्राप्त मान केवल 2 × pi द्वारा एक साधारण विभाजन का उपयोग करके पूर्ण विराम पर आने से पहले शाफ्ट द्वारा किए गए क्रांतियों की संख्या में परिवर्तित हो जाता है: