क्षणों का समीकरण: बल, संवेग और जड़ता के क्षण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

यदि न्यूटन के नियमों का उपयोग करते हुए शास्त्रीय यांत्रिकी में पिंडों की रैखिक गति का वर्णन किया जाता है, तो परिपत्र प्रक्षेपवक्र के साथ यांत्रिक प्रणालियों की गति की विशेषताओं की गणना एक विशेष अभिव्यक्ति का उपयोग करके की जाती है, जिसे क्षणों का समीकरण कहा जाता है। हम किन क्षणों की बात कर रहे हैं और इस समीकरण का क्या अर्थ है? ये और अन्य प्रश्न लेख में सामने आए हैं।

बल का क्षण

न्यूटोनियन बल से सभी अच्छी तरह वाकिफ हैं, जो शरीर पर कार्य करके उसे त्वरण प्रदान करता है। जब एक निश्चित घूर्णन अक्ष पर स्थिर किसी वस्तु पर ऐसा बल लगाया जाता है, तो इस विशेषता को आमतौर पर बल का क्षण कहा जाता है। बल समीकरण का क्षण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एम¯=एल¯एफ¯

इस अभिव्यक्ति की व्याख्या करने वाला चित्र नीचे दिखाया गया है।

यहाँ आप देख सकते हैं कि बल F¯ सदिश L¯ की ओर कोण पर निर्देशित है। वेक्टर L¯ को ही रोटेशन की धुरी (तीर द्वारा इंगित) से आवेदन के बिंदु तक निर्देशित माना जाता हैएफ¯.

उपरोक्त सूत्र दो सदिशों का गुणनफल है, इसलिए M¯ भी दिशात्मक है। बल का क्षण M¯ कहाँ मुड़ेगा? यह दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित किया जा सकता है (चार अंगुलियों को वेक्टर L¯ के अंत से F¯ के अंत तक प्रक्षेपवक्र के साथ निर्देशित किया जाता है, और बायां अंगूठा M¯ की दिशा को इंगित करता है)।

उपरोक्त आकृति में, अदिश रूप में बल के क्षण के लिए व्यंजक रूप लेगा:

एम=एलएफपाप(Φ)

यदि आप आकृति को करीब से देखें, तो आप देख सकते हैं कि Lsin(Φ)=d, तो हमारे पास सूत्र है:

एम=डीएफ

बल के क्षण की गणना में d का मान एक महत्वपूर्ण विशेषता है, क्योंकि यह सिस्टम पर लागू F की प्रभावशीलता को दर्शाता है। इस मान को बल का उत्तोलक कहा जाता है।

M का भौतिक अर्थ सिस्टम को घुमाने के लिए बल की क्षमता में निहित है। हर कोई इस क्षमता को महसूस कर सकता है यदि वे दरवाजे को हैंडल से खोलते हैं, इसे टिका के पास धकेलते हैं, या यदि वे एक छोटी और लंबी कुंजी के साथ अखरोट को खोलने का प्रयास करते हैं।

व्यवस्था का संतुलन

बल के क्षण की अवधारणा एक प्रणाली के संतुलन पर विचार करते समय बहुत उपयोगी होती है जिस पर कई बलों द्वारा कार्य किया जाता है और जिसमें धुरी या घूर्णन बिंदु होता है। ऐसे मामलों में, सूत्र लागू करें:

∑_मैंएम_मैं¯=0

अर्थात, निकाय संतुलन में होगा यदि उस पर लागू सभी आघूर्णों का योग शून्य हो। ध्यान दें कि इस सूत्र में पल भर में एक सदिश चिह्न होता है, अर्थात हल करते समय, इस के संकेत को ध्यान में रखना नहीं भूलना चाहिएमात्रा। आम तौर पर स्वीकृत नियम यह है कि सिस्टम को वामावर्त घुमाने वाला अभिनय बल एक सकारात्मक M_i¯ बनाता है।

इस प्रकार की समस्याओं का एक ज्वलंत उदाहरण आर्किमिडीज के लीवरों के संतुलन की समस्याएं हैं।

गति का क्षण

यह वृत्तीय गति की एक और महत्वपूर्ण विशेषता है। भौतिकी में, इसे गति और लीवर के उत्पाद के रूप में वर्णित किया गया है। गति समीकरण इस तरह दिखता है:

T¯=r¯p¯

यहाँ p¯ संवेग सदिश है, r¯ घूर्णन सामग्री बिंदु को अक्ष से जोड़ने वाला सदिश है।

नीचे दिया गया चित्र इस अभिव्यक्ति को दर्शाता है।

यहाँ ω कोणीय वेग है, जो आगे आघूर्ण समीकरण में दिखाई देगा। ध्यान दें कि सदिश T¯ की दिशा M¯ के समान नियम द्वारा ज्ञात की जाती है। ऊपर की आकृति में, दिशा में T¯ कोणीय वेग वेक्टर के साथ मेल खाएगा।

T¯ का भौतिक अर्थ रैखिक गति के मामले में p¯ की विशेषताओं के समान है, अर्थात कोणीय गति घूर्णी गति (संग्रहीत गतिज ऊर्जा) की मात्रा का वर्णन करती है।

जड़ता का क्षण

तीसरी महत्वपूर्ण विशेषता, जिसके बिना किसी घूर्णन वस्तु की गति का समीकरण बनाना असंभव है, वह जड़ता का क्षण है। यह भौतिक बिंदु के कोणीय गति के सूत्र के गणितीय परिवर्तनों के परिणामस्वरूप भौतिकी में प्रकट होता है। आइए आपको दिखाते हैं कि यह कैसे किया जाता है।

मान की कल्पना करेंटी¯ इस प्रकार है:

T¯=r¯mv¯, जहाँ p¯=mv¯

कोणीय और रैखिक वेग के बीच संबंध का उपयोग करके, हम इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

T¯=r¯mr¯ω¯, जहां v¯=r¯ω¯

अंतिम व्यंजक इस प्रकार लिखें:

T¯=r²mω¯

मान r²m द्रव्यमान m के एक बिंदु के लिए जड़ता का क्षण है जो एक अक्ष के चारों ओर r दूरी पर एक गोलाकार गति करता है। यह विशेष मामला हमें मनमाने आकार के शरीर के लिए जड़ता के क्षण के सामान्य समीकरण को पेश करने की अनुमति देता है:

मैं=∫_म (आर²डीएम)

I एक योगात्मक मात्रा है, जिसका अर्थ घूर्णन प्रणाली की जड़ता में निहित है। मैं जितना बड़ा होता हूं, शरीर को घुमाना उतना ही मुश्किल होता है, और इसे रोकने में काफी मेहनत लगती है।

क्षण समीकरण

हमने तीन राशियों पर विचार किया है, जिनका नाम "पल" शब्द से शुरू होता है। यह जानबूझकर किया गया था, क्योंकि वे सभी एक अभिव्यक्ति में जुड़े हुए हैं, जिसे 3-क्षण समीकरण कहा जाता है। चलो इसे निकालते हैं।

कोणीय संवेग T¯:

के व्यंजक पर विचार करें

त=मैंω¯

पता करें कि समय के साथ T¯ का मान कैसे बदलता है, हमारे पास:

dT¯/dt=मैंdω¯/dt

यह देखते हुए कि कोणीय वेग का अवकलज r से विभाजित रैखिक वेग के बराबर है, और I के मान का विस्तार करते हुए, हम व्यंजक पर पहुंचते हैं:

डीटी¯/डीटी=mr²1/rdv¯/dt=rma¯, जहां a¯=dv¯/dt रैखिक त्वरण है।

ध्यान दें कि द्रव्यमान और त्वरण का गुणनफल और कुछ नहीं बल्कि अभिनय बाहरी बल F¯ है। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

dT¯/dt=rF¯=M¯

हम एक दिलचस्प निष्कर्ष पर पहुंचे: कोणीय गति में परिवर्तन अभिनय बाहरी बल के क्षण के बराबर है। यह अभिव्यक्ति आमतौर पर थोड़े अलग रूप में लिखी जाती है:

M¯=Iα¯, जहां α¯=dω¯/dt - कोणीय त्वरण।

इस समानता को क्षणों का समीकरण कहते हैं। यह आपको सिस्टम के मापदंडों और उस पर बाहरी प्रभाव की भयावहता को जानकर, घूमने वाले शरीर की किसी भी विशेषता की गणना करने की अनुमति देता है।

संरक्षण कानून टी¯

पिछले पैराग्राफ में प्राप्त निष्कर्ष इंगित करता है कि यदि बलों का बाहरी क्षण शून्य के बराबर है, तो कोणीय गति नहीं बदलेगी। इस मामले में, हम व्यंजक लिखते हैं:

T¯=स्थिरांक। या मैं₁ω₁¯=मैं₂ω_{2 ¯}

इस सूत्र को T¯ के संरक्षण का नियम कहा जाता है। यानी, सिस्टम के भीतर कोई भी बदलाव कुल कोणीय गति को नहीं बदलता है।

इस तथ्य का उपयोग फिगर स्केटर्स और बैलेरिना अपने प्रदर्शन के दौरान करते हैं। इसका उपयोग तब भी किया जाता है जब अंतरिक्ष में घूम रहे किसी कृत्रिम उपग्रह को अपनी धुरी पर घुमाना आवश्यक हो।